Optiske fibre & kommunikasjon

Kjernen i temaet

En optisk fiber er en kjerne ( $n_1$ ) omgitt av en kappe ( $n_2<n_1$ ). Lys som treffer kjerne–kappe-grensen brattere enn kritisk vinkel føres ved gjentatt total intern refleksjon. Mesteparten av kapittelet kan forstås med strålemodellen (meridionale stråler), med interferens lagt til der det trengs.

To fibertyper

Step-index

Skarp indeksovergang kjerne→kappe.
Enkel og billig å lage.
Mest modal dispersjon ⇒ lav båndbredde over avstand.

Graded-index (GRIN)

Indeksen avtar gradvis utover.
Strålene bøyes kontinuerlig (mirage-effekt), nesten lik gangtid.
Mye mindre modal dispersjon (≈ faktor $\Delta_n/2$ ).

Kappens andre oppgave er å hindre frustrert TIR (lekkasje/«cross talk») mellom nabofibre.

Akseptansekjegle, NA & skip-avstand

Bare lys innenfor en akseptansekjegle (halvvinkel $\theta_\text{max}$ ) treffer kjerne–kappe-grensen brattere enn kritisk vinkel og føres videre. Snells lov ved endeflaten gir den numeriske aperturen:

$NA=n_0\sin\theta_\text{max}=n_1\cos\phi_c=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$ .

Stor $NA$ ⇒ lett innkobling, men flere moder. En glass/luft-fiber kan ikke ha $NA>1$ . Skip-avstanden $L_s$ er avstanden mellom to refleksjoner; en typisk fiber har tusenvis av refleksjoner per meter, så hver flate må være nesten tapsfri.

\displaystyle \sin\phi_c=\dfrac{n_2}{n_1}

Kritisk vinkel ved kjerne–kappe.

\phi_c

måles fra grenseflaten (ikke normalen). må pugges

\displaystyle NA=n_0\sin\theta_\text{max}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}

Numerisk apertur / akseptansevinkel. må pugges

\displaystyle L_s=\dfrac{d}{\tan\theta'}=d\sqrt{\left(\dfrac{n_1}{n_0\sin\theta}\right)^2-1}

Skip-avstand mellom refleksjoner (

d

= kjernediameter). må pugges

Moder: multimodus, singelmodus & GRIN

Bare visse strålevinkler tilfredsstiller en resonansbetingelse (faseforskjellen rundt etter to refleksjoner er et helt antall $2\pi$ ) og overlever som moder. Hver mode har to polarisasjoner (TE/TM).

Antall moder vokser som $(d/\lambda)^2$ og med $NA^2$ . Store kjerner ⇒ multimodus; en liten nok kjerne slipper bare gjennom den aksiale «rett-fram»-moden ⇒ singelmodus (best båndbredde, men vanskeligst å koble til).

\displaystyle m_{x,\text{max}}\cong\dfrac{2d}{\lambda}\,NA

Høyeste modetall (slab-tilnærming). må pugges

\displaystyle N_\text{moder}\approx 4\left(\dfrac{d\,NA}{\lambda}\right)^2

Totalt antall moder, sylindrisk fiber. må pugges

\displaystyle d<\dfrac{2{,}4\,\lambda}{\pi\,NA}

Singelmodus-betingelse (kjernediameter). må pugges

Dempning, regenerering & EDFA

Lys i en fiber dempes alltid. Ekstrinsiske tap: skarpe bend, mikrobend, dårlig innkobling, skjøter. Intrinsiske tap: absorpsjon i silika (UV + IR) og Rayleigh-spredning ( $\propto1/\lambda^4$ , derfor færre tap ved lange bølgelengder).

Minimum dempning i silika ligger nær 1,55 µm (3. telekomvindu, $\sim0{,}15$ dB/km), med et lokalt minimum ved 1,3 µm (2. vindu) der materialdispersjonen er null. Båndene heter O, E, S, C (1530–1565 nm), L, U; C-båndet brukes mest til langdistanse.

Tap rettes opp med erbium-dopede fiberforsterkere (EDFA), pumpet ved ~980 nm, som forsterker hele C-båndet ved stimulert emisjon — og fjernet behovet for elektrisk OEO-regenerering.

\displaystyle I_L=I_0e^{-\alpha L},\quad \alpha=\dfrac{1}{L}\ln\dfrac{I_0}{I_L}

Beers lov (dempningskoeffisient). må pugges

\displaystyle \alpha_\text{dB}=10\log_{10}\dfrac{P_\text{inn}}{P_\text{ut}}=\dfrac{10}{\ln 10}\,\alpha

Dempning i dB/km (over 1 km). må pugges

Pulsutsmøring (dispersjon)

I tillegg til dempning forvrenges pulsene — de smøres ut i tid og kan overlappe nabopulser (inter-symbol-interferens), noe som begrenser bitraten. I synkende rekkefølge etter alvorlighetsgrad:

Modal dispersjon: ulike moder har ulik gangtid. Verst i multimodus step-index; fjernes i singelmodus, og reduseres ~ $\Delta_n/2$ i parabolisk GRIN.
Materialdispersjon: $n(\lambda)$ varierer ⇒ ulike bølgelengder reiser ulikt fort. Skaleres med kildens spektralbredde $\Delta\lambda$ via materialdispersjonsparameteren $M$ . Null nær 1,27 µm.
Bølgelederdispersjon: samme mode følger litt ulik vei for ulike $\lambda$ ( $\delta\tau/L=-M'\Delta\lambda$ ). Liten, men flytter null-dispersjon mot 1,31 µm.
Polarisasjonsmodedispersjon: dobbeltbrytning gir ulik fart for de to polarisasjonene. Minst, men begrensende ved >10 Gbps.

Pulsutsmøringen per lengde gir båndbredde–avstand-produktet $\nu_\text{max}L$ — fiberens nøkkeltall (kobber: bare ~10–25 MHz·km).

\displaystyle \left(\dfrac{\delta\tau}{L}\right)_\text{step}=\dfrac{n_1}{c}\dfrac{n_1-n_2}{n_2}

Modal dispersjon, step-index.

\delta\tau/L

= pulsutsmøring per lengde. må pugges

\displaystyle \left(\dfrac{\delta\tau}{L}\right)_\text{GRIN}\approx\dfrac{n_1}{2c}\Delta_n^{2}

Modal dispersjon, parabolisk GRIN (

\Delta_n\approx\tfrac{n_1-n_2}{n_1}

). må pugges

\displaystyle \dfrac{\delta\tau}{L}=-M\,\Delta\lambda

Materialdispersjon (

M

i ps/(nm·km)). må pugges

\displaystyle \nu_\text{max}L=\dfrac{0{,}5}{(\delta\tau/L)}

Båndbredde–avstand-produkt. må pugges

Fiberkomponenter & WDM

Koblere (sammensmeltede kjerner): splitter/kombinerer signaler. Like utganger ⇒ 3 dB-kobler.
Optiske isolatorer: «optiske dioder» (Faraday-rotator) som slipper lys bare én vei.
Sirkulatorer: ikke-resiproke 3-/4-ports-enheter som legger til/tar ut kanaler.
Fiber-Bragg-gitter (FBG): indeksmodulasjon (periode $\Lambda\sim1$ µm) som virker som et bølgelengdespesifikt speil; reflekterer $\lambda_B=2n_1\Lambda$ . Chirpet FBG + sirkulator kompenserer kromatisk dispersjon.
WDM/DWDM: flere bærebølgelengder samtidig i én fiber. EDFA-forsterkning over ~35 nm rommer ~45 kanaler à 0,8 nm (100 GHz) i C-båndet.
Mach–Zehnder fiberinterferometer: brukes som mux/demux. Veiforskjell $\Delta L$ velges så én bærebølgelengde gir konstruktiv ( $m\lambda_1$ ) og en annen destruktiv ( $(m+\tfrac12)\lambda_2$ ) interferens på hver utgang.

\displaystyle \lambda_B=2n_1\Lambda

Fiber-Bragg-gitter: reflektert bølgelengde.

\Lambda

= gitterets periode. må pugges

\displaystyle \Delta L=\dfrac{m\lambda_1}{n}=\dfrac{(m+\tfrac12)\lambda_2}{n}

Mach–Zehnder to-kanals demux (begge må gjelde). må pugges

\displaystyle \mathcal R\approx\dfrac{500}{d\,[\mu\text{m}]}

Spatial oppløsning til fiberbunt (lin/mm). må pugges

Regneeksempel 1 NA, akseptanse & kritisk vinkel

En fiber har kjerne $n_1=1{,}48$ og kappe $n_2=1{,}46$ . Finn numerisk apertur, maksimal akseptansevinkel fra luft, og kritisk vinkel ved kjerne–kappe-grensen.

Vis løsning

NA.

$NA=\sqrt{1{,}48^2-1{,}46^2}=\sqrt{2{,}1904-2{,}1316}=\sqrt{0{,}0588}=0{,}242$ .

Akseptanse.

$\theta_\text{max}=\arcsin(NA/n_0)=\arcsin(0{,}242)\approx 14{,}0^\circ$ .

Kritisk vinkel.

$\phi_c=\arcsin(n_2/n_1)=\arcsin(0{,}9865)\approx 80{,}6^\circ$ .

Svar

NA \approx 0{,}242

;

\theta_\text{max} \approx 14^\circ

;

\phi_c \approx 80{,}6^\circ

Regneeksempel 2 singelmodus & modetall

En fiber har kjerne $n_1=1{,}465$ og kappe $n_2=1{,}460$ ved $\lambda=1{,}25$ µm. Finn maks kjernediameter for singelmodus, og antall moder hvis diameteren i stedet er $50$ µm.

Vis løsning

NA.

$NA=\sqrt{1{,}465^2-1{,}460^2}=\sqrt{0{,}01463}=0{,}121$ .

Singelmodus.

$d<\dfrac{2{,}4\lambda}{\pi NA}=\dfrac{2{,}4(1{,}25\,\mu m)}{\pi(0{,}121)}\approx 7{,}9\,\mu m$ .

Multimodus ( $d=50$ µm).

$N\approx4\left(\dfrac{50\cdot0{,}121}{1{,}25}\right)^2\approx 94$ moder.

Svar

d < 7{,}9

µm for singelmodus; ellers ≈ 94 moder

Regneeksempel 3 dempning i dB/km

Et signal har effekt $5\,\mu$ W rett innenfor inngangen til en $100$ m lang plastfiber, og bare $1\,\mu$ W ved utgangen. Hva er dempningskoeffisienten i dB/km?

Vis løsning

Formel.

$\alpha_\text{dB}=\dfrac{10}{L_\text{km}}\log_{10}\dfrac{P_\text{inn}}{P_\text{ut}}$ med $L_\text{km}=0{,}1$ .

Innsetting.

$\alpha_\text{dB}=\dfrac{10}{0{,}1}\log_{10}\dfrac{5}{1}=100\cdot0{,}699\approx 69{,}9$ dB/km.

Til sammenligning har singelmodus glassfiber ved 1,55 µm bare ~0,15 dB/km.

Svar

\alpha \approx 70

dB/km — plastfiber er svært tapsrik

Regneeksempel 4 modal dispersjon & båndbredde

En multimodus step-index fiber har $n_1=1{,}46$ og $n_2=1{,}45$ . Estimer pulsutsmøring per km og båndbredde–avstand-produktet.

Vis løsning

Modal dispersjon.

$\dfrac{\delta\tau}{L}=\dfrac{n_1}{c}\dfrac{n_1-n_2}{n_2}=\dfrac{1{,}46}{3\times10^8}\cdot\dfrac{0{,}01}{1{,}45}\approx 3{,}4\times10^{-11}$ s/m $=34$ ns/km.

Båndbredde.

$\nu_\text{max}L=\dfrac{0{,}5}{34\text{ ns/km}}\approx 1{,}5\times10^{7}\text{ Hz·km}=15$ MHz·km.

Derfor er multimodus step-index uegnet til langdistanse — singelmodus eller GRIN trengs.

Svar

\delta\tau/L \approx 34

ns/km;

\nu_\text{max}L \approx 15

MHz·km

Regneeksempel 5 Mach–Zehnder demux

Et Mach–Zehnder fiberinterferometer ( $n=1{,}500$ ) skal demultiplekse $\lambda_1=1551$ nm og $\lambda_2=1550$ nm. Finn veiforskjellen $\Delta L$ .

Vis løsning

Betingelser.

$\Delta L=\dfrac{m\lambda_1}{n}$ (konstruktiv for $\lambda_1$ ) og $\Delta L=\dfrac{(m+\tfrac12)\lambda_2}{n}$ (destruktiv for $\lambda_2$ ).

Løs for $\Delta L$ .

$\Delta L=\dfrac{1}{2n}\left(\dfrac{1}{\lambda_2}-\dfrac{1}{\lambda_1}\right)^{-1}=\dfrac{1}{2(1{,}5)}\left(\dfrac{1}{1550}-\dfrac{1}{1551}\right)^{-1}\text{nm}$ .

$\approx 801{,}000$ nm $=0{,}801$ mm. (Sjekk: $m=n\Delta L/\lambda_1\approx775$ , et heltall ✓.)

Svar

\Delta L \approx 0{,}801

Sjekk deg selv

Mer forklaring — GRIN-fiber slår step-index på dispersjon

I en parabolsk GRIN-fiber ( $\alpha_p=2$ ) avtar indeksen jevnt utover. Aksiale stråler tar korteste vei, men i tregeste (høyeste) indeks; skrå stråler går lengre, men gjennom områder med lavere indeks der farten er høyere. I idealtilfellet blir gangtidene nesten like (isokrone baner).

Resultatet er at modal dispersjon reduseres med en faktor $\Delta_n/2$ sammenlignet med en tilsvarende step-index fiber — ofte to–tre størrelsesordener. Materialdispersjon blir da den begrensende effekten.

Regneeksempel GRIN vs. step-index modal dispersjon

En fiber har $n_1=1{,}46$ og $n_2=1{,}45$ . Sammenlign modal dispersjon for step-index og en parabolsk GRIN-fiber.

Vis løsning

Step-index.

$\dfrac{\delta\tau}{L}=\dfrac{n_1}{c}\dfrac{n_1-n_2}{n_2}\approx 34$ ns/km (som i Regneeksempel 4).

GRIN.

$\Delta_n=\dfrac{n_1-n_2}{n_1}=\dfrac{0{,}01}{1{,}46}=6{,}85\times10^{-3}$ , og reduksjonsfaktoren er $\Delta_n/2\approx1/292$ .

$\left(\dfrac{\delta\tau}{L}\right)_\text{GRIN}\approx 34\text{ ns/km}\times\dfrac{1}{292}\approx 0{,}12$ ns/km.

Svar

Step

\approx 34

ns/km; GRIN

\approx 0{,}12

ns/km (≈ 292× mindre)

Kjernen i temaet

To fibertyper

Akseptansekjegle, NA & skip-avstand

Moder: multimodus, singelmodus & GRIN

Dempning, regenerering & EDFA

Pulsutsmøring (dispersjon)

Fiberkomponenter & WDM

Sjekk deg selv

Mer forklaring — GRIN-fiber slår step-index på dispersjon

Flere kontrollspørsmål