Hvorfor reduserer en parabolsk GRIN-fiber modal dispersjon?

skrå stråler går lengre, men i lavere indeks, så gangtidene blir nesten like

Lys føres i en fiber takket være …

total intern refleksjon ved kjerne–kappe-grensen

En EDFA brukes til å …

forsterke signalet optisk ved stimulert emisjon

Et fiber-Bragg-gitter virker som …

et bølgelengdespesifikt speil med \lambda_B=2n_1\Lambda

Optiske fibre & kommunikasjon

En optisk fiber er en kjerne ( $n_1$ ) omgitt av en kappe med lavere indeks ( $n_2<n_1$ ), og lyset føres ved gjentatt total intern refleksjon. Det meste forstås med strålemodellen, med interferens lagt til der moder og gitre krever det.

Akseptansekjegle, NA og skip-avstand

Bare lys som treffer kjerne–kappe-grensen slakere enn kritisk vinkel føres videre, og sett fra endeflaten betyr det en akseptansekjegle med halvvinkel $\theta_\text{max}$ . Snells lov ved endeflaten oversetter mellom de to:

\displaystyle \sin\phi_c=\dfrac{n_2}{n_1}

Kritisk vinkel ved kjerne–kappe-grensen, målt fra normalen på grenseflaten.

\displaystyle NA=n_0\sin\theta_\text{max}=n_1\cos\phi_c=\sqrt{n_1^2-n_2^2}

Numerisk apertur: sinus til største akseptansevinkel fra mediet

n_0

Stor NA gir lett innkobling, men også flere moder. Avstanden mellom to refleksjoner langs fiberen er skip-avstanden

\displaystyle L_s=\dfrac{d}{\tan\theta'}=d\sqrt{\left(\dfrac{n_1}{n_0\sin\theta}\right)^2-1}

Skip-avstand;

d

= kjernediameter,

\theta

= inngangsvinkel,

\theta'

= strålens vinkel mot aksen inne i kjernen.

En typisk fiber gir tusenvis av refleksjoner per meter, så hver enkelt må være så godt som tapsfri; det er derfor totalrefleksjon, ikke speilbelegg, gjør jobben. Kappen har også en annen oppgave: den holder det evanescente feltet unna nabofibre, så lyset ikke lekker over (frustrert totalrefleksjon).

Regneeksempel 1 NA, akseptanse og kritisk vinkel

En fiber har kjerne $n_1=1{,}48$ og kappe $n_2=1{,}46$ . Finn numerisk apertur, maksimal akseptansevinkel fra luft og kritisk vinkel ved kjerne–kappe-grensen.

Vis løsning Skjul løsning

$NA=\sqrt{1{,}48^2-1{,}46^2}=\sqrt{0{,}0588}=0{,}242$ .

Akseptansevinkelen er $\theta_\text{max}=\arcsin(0{,}242)\approx14^\circ$ , og kritisk vinkel er $\phi_c=\arcsin(1{,}46/1{,}48)=\arcsin(0{,}9865)\approx80{,}6^\circ$ : strålene må gå nesten langs fiberen.

Svar

NA\approx0{,}242

;

\theta_\text{max}\approx14^\circ

;

\phi_c\approx80{,}6^\circ

Moder: multimodus, singelmodus og GRIN

Som i filmlederen overlever bare strålevinkler der fasen går opp etter to refleksjoner, og hver løsning er en mode. Antall moder vokser som $(d\,NA/\lambda)^2$ : store kjerner bærer mange (multimodus), og en liten nok kjerne bærer bare den aksiale grunnmoden (singelmodus).

\displaystyle m_{x,\text{max}}\cong\dfrac{2d}{\lambda}\,NA

Høyeste modetall i slab-tilnærmingen.

\displaystyle N_\text{moder}\approx 4\left(\dfrac{d\,NA}{\lambda}\right)^2

Totalt antall moder i en sylindrisk fiber.

\displaystyle d<\dfrac{2{,}4\,\lambda}{\pi\,NA}

Singelmodusbetingelsen for kjernediameteren.

Step-index

Skarp indeksovergang fra kjerne til kappe.
Enkel og billig å lage.
Mest modal dispersjon, så lav båndbredde over avstand.

Graded-index (GRIN)

Indeksen avtar gradvis utover.
Strålene bøyes kontinuerlig og får nesten lik gangtid.
Modal dispersjon redusert med en faktor rundt $\Delta_n/2$ .

Regneeksempel 2 singelmodus og modetall

En fiber har kjerne $n_1=1{,}465$ og kappe $n_2=1{,}460$ ved $\lambda=1{,}25$ µm. Finn største kjernediameter for singelmodus, og antall moder hvis diameteren i stedet er 50 µm.

Vis løsning Skjul løsning

$NA=\sqrt{1{,}465^2-1{,}460^2}=0{,}121$ .

Singelmodus krever $d<\dfrac{2{,}4\cdot1{,}25\ \mu\text{m}}{\pi\cdot0{,}121}\approx7{,}9$ µm.

Med $d=50$ µm er $N\approx4\left(\dfrac{50\cdot0{,}121}{1{,}25}\right)^2\approx94$ moder.

Svar

d<7{,}9

µm for singelmodus; ellers

\approx94

moder

Dempning, telekomvinduer og EDFA

Lyset i en fiber dempes av to familier av tap. De ekstrinsiske kan bygges bort: skarpe bøyer, mikrobøyer, dårlig innkobling og skjøter. De intrinsiske sitter i silikaen selv: absorpsjon i UV og IR, og Rayleigh-spredning på tetthetsvariasjoner, med tverrsnitt som $1/\lambda^4$ . Summen har et minimum nær 1,55 µm, det tredje telekomvinduet, der moderne singelmodusfiber taper rundt 0,15 dB/km; ved 1,3 µm ligger et annet vindu der materialdispersjonen er null. Området rundt 1550 nm deles i bånd, og C-båndet (1530–1565 nm) bærer mest langdistansetrafikk.

\displaystyle I_L=I_0e^{-\alpha L},\quad \alpha=\dfrac{1}{L}\ln\dfrac{I_0}{I_L}

Beers lov med dempningskoeffisienten

\alpha

(per km, naturlig logaritme).

\displaystyle \alpha_\text{dB}=10\log_{10}\dfrac{P_\text{inn}}{P_\text{ut}}=\dfrac{10}{\ln 10}\,\alpha

Dempning i dB/km. Merk at

\alpha

\alpha_\text{dB}

er ulike tall for samme fysikk.

Desibelformen er praktisk fordi tap adderes: tre kilometer à 5 dB/km pluss to skjøter à 1 dB er 17 dB, ferdig regnet. Tapene rettes opp optisk med erbium-dopede fiberforsterkere, pumpet ved 980 nm, som forsterker hele C-båndet ved stimulert emisjon og fjernet behovet for å konvertere signalet til elektronikk og tilbake underveis.

Regneeksempel 3 dempning i dB/km

Et signal har effekt 5 µW rett innenfor inngangen til en 100 m lang plastfiber, og 1 µW ved utgangen. Hva er dempningskoeffisienten i dB/km?

Vis løsning Skjul løsning

Over $L=0{,}1$ km er $\alpha_\text{dB}=\dfrac{10}{0{,}1}\log_{10}\dfrac{5}{1}=100\cdot0{,}699\approx70$ dB/km. Til sammenligning ligger singelmodus glassfiber ved 1,55 µm på rundt 0,15 dB/km; plastfiber duger bare til korte strekk.

Svar

\alpha_\text{dB}\approx70

dB/km

Pulsutsmøring: de fire dispersjonstypene

Dempning gjør pulsene svakere; dispersjon gjør dem bredere, til nabopulser flyter sammen og bitraten må ned. I synkende alvorlighetsgrad:

Modal dispersjon: moder har ulik gangtid. Verst i multimodus step-index, borte i singelmodus, kraftig redusert i GRIN.
Materialdispersjon: $n(\lambda)$ varierer, så kildens spektralbredde $\Delta\lambda$ smøres ut i tid via parameteren $M$ ; null nær 1,27 µm i silika.
Bølgelederdispersjon: samme mode fordeler seg litt ulikt mellom kjerne og kappe for ulike $\lambda$ . Liten, men flytter nulldispersjonen til 1,31 µm.
Polarisasjonsmodedispersjon: svak dobbeltbrytning gir de to polarisasjonene ulik fart. Minst, men merkbar over 10 Gbit/s.

\displaystyle \left(\dfrac{\delta\tau}{L}\right)_\text{step}=\dfrac{n_1}{c}\dfrac{n_1-n_2}{n_2}

Modal pulsutsmøring per lengde, step-index.

\displaystyle \left(\dfrac{\delta\tau}{L}\right)_\text{GRIN}\approx\dfrac{n_1}{2c}\Delta_n^{2}

Modal pulsutsmøring, parabolsk GRIN;

\Delta_n\approx(n_1-n_2)/n_1

\displaystyle \dfrac{\delta\tau}{L}=-M\,\Delta\lambda

Materialdispersjon;

M

oppgis i ps/(nm·km).

\displaystyle \nu_\text{max}L=\dfrac{0{,}5}{(\delta\tau/L)}

Båndbredde–avstand-produktet: fiberens nøkkeltall.

Til sammenligning klarer en kobberkabel bare noen titalls MHz·km; det er dette produktet som gjør fiber til ryggraden i all langdistansetrafikk.

Regneeksempel 4 modal dispersjon og båndbredde

En multimodus step-index-fiber har $n_1=1{,}46$ og $n_2=1{,}45$ . Estimer pulsutsmøringen per km og båndbredde–avstand-produktet.

Vis løsning Skjul løsning

$\dfrac{\delta\tau}{L}=\dfrac{1{,}46}{3\times10^8}\cdot\dfrac{0{,}01}{1{,}45}\approx3{,}4\times10^{-11}$ s/m, altså 34 ns/km.

$\nu_\text{max}L=\dfrac{0{,}5}{34\ \text{ns/km}}\approx15$ MHz·km.

En parabolsk GRIN-fiber med samme indekser reduserer dette med faktoren $\Delta_n/2\approx1/290$ , til rundt 0,12 ns/km; multimodus step-index er uegnet til langdistanse.

Svar

\delta\tau/L\approx34

ns/km;

\nu_\text{max}L\approx15

MHz·km

Komponenter og WDM

Koblere av sammensmeltede kjerner splitter og kombinerer signaler; deler den likt, kalles den en 3 dB-kobler.
Optiske isolatorer er enveiskjøringer bygget på Faraday-rotasjon; sirkulatorer er ikke-resiproke tre- eller fireporter som legger til og tar ut kanaler.
Fiber-Bragg-gitteret er en periodisk indeksmodulasjon i kjernen som virker som et bølgelengdespesifikt speil; et chirpet gitter pluss en sirkulator kompenserer kromatisk dispersjon.
WDM sender mange bærebølgelengder i samme fiber; EDFA-vinduet på ~35 nm rommer rundt 45 kanaler med 0,8 nm (100 GHz) avstand i C-båndet.
Mach–Zehnder-fiberinterferometeret skiller kanaler: veiforskjellen velges så én bølgelengde interfererer konstruktivt og naboen destruktivt på hver sin utgang.

\displaystyle \lambda_B=2n_1\Lambda

Bragg-betingelsen for et fiber-Bragg-gitter med periode

\Lambda

\displaystyle \Delta L=\dfrac{m\lambda_1}{n}=\dfrac{(m+\tfrac12)\lambda_2}{n}

Mach–Zehnder tokanals demux: begge betingelsene må gjelde samtidig.

Regneeksempel 5 Mach–Zehnder demux

Et Mach–Zehnder-fiberinterferometer ( $n=1{,}500$ ) skal demultiplekse $\lambda_1=1551$ nm og $\lambda_2=1550$ nm. Finn veiforskjellen $\Delta L$ .

Vis løsning Skjul løsning

Konstruktiv for $\lambda_1$ og destruktiv for $\lambda_2$ krever $m\lambda_1=(m+\tfrac12)\lambda_2$ , som gir $m=\dfrac{\lambda_2}{2(\lambda_1-\lambda_2)}=\dfrac{1550}{2\cdot1}=775$ .

Dermed er $\Delta L=\dfrac{m\lambda_1}{n}=\dfrac{775\cdot1551\ \text{nm}}{1{,}5}\approx8{,}0\times10^5$ nm $=0{,}80$ mm.

Svar

\Delta L\approx0{,}80

Hovedpunkter

Lys føres ved totalrefleksjon i kjernen; $NA=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$ setter akseptansekjeglen, og stor NA gir lett innkobling men mange moder.
Singelmodus krever $d<2{,}4\lambda/(\pi NA)$ og fjerner modal dispersjon; parabolsk GRIN reduserer den med faktoren $\Delta_n/2$ .
Dempning domineres av Rayleigh-spredning ( $1/\lambda^4$ ) og IR-absorpsjon; minimum nær 1,55 µm, og tap regnes additivt i dB.
Fire dispersjonstyper (modal, material, bølgeleder, polarisasjon) begrenser $\nu_\text{max}L=0{,}5/(\delta\tau/L)$ .
Nettet bygges av koblere, isolatorer, sirkulatorer, Bragg-gitre ( $\lambda_B=2n_1\Lambda$ ), WDM og Mach–Zehnder-demuxer, med EDFA som forsterker.