Fourier-optikk & diffraksjonsgitteret

Kjernen i temaet

Mange spalter (et gitter) gir skarpe, lyssterke topper — ideelt til å splitte lys i bølgelengder. Fourier-optikken sier at fjernfeltet er Fourier-transformen av åpningsfunksjonen, så «mønster ↔ struktur» blir et transformpar.

Flerspalt-intensitet

$I=I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\left(\dfrac{\sin N\alpha}{\sin\alpha}\right)^2$ , med $\alpha=\tfrac12 ak\sin\theta$ (mellom-spalt) og $\beta=\tfrac12 bk\sin\theta$ (enkeltspalt). Enkeltspalt-leddet er konvolutten; gitter-leddet gir de skarpe hovedmaksima.

Gitterlikningen

$m\lambda=a(\sin\theta_i+\sin\theta_m)$ . Ordenstallet $m$ gir flere spektre. Et gitters kvalitet måles ved oppløsning $\mathcal R=mN$ (orden × antall opplyste spalter) og dispersjon $\mathcal D=m/(a\cos\theta_m)$ .

\displaystyle I=I_0\big(\tfrac{\sin\beta}{\beta}\big)^2\big(\tfrac{\sin N\alpha}{\sin\alpha}\big)^2

N

spalter, bredde

b

, avstand

a

\displaystyle m\lambda=a(\sin\theta_i+\sin\theta_m)

Gitterlikningen.

a

= spalteavstand (gitterkonstant),

\theta_i

= innfalls-,

\theta_m

= utfallsvinkel for orden

m

\displaystyle \mathcal R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN

Spektral oppløsning

\mathcal R

= evnen til å skille to nære bølgelengder;

N

= antall belyste spalter.

\displaystyle \mathcal D=\dfrac{d\theta_m}{d\lambda}=\dfrac{m}{a\cos\theta_m}

Vinkeldispersjon

\mathcal D

= hvor mye utfallsvinkelen endrer seg per bølgelengde.

\displaystyle \lambda_\text{fsr}=\dfrac{\lambda_1}{m}

Fritt spektralområde: bølgelengdeintervallet før naboordener (orden

m

) overlapper.

Regneeksempel flerspalt

Et gitter med $N=4$ spalter, $a=88{,}6\,\mu$ m bredde-info … gitt at hovedmaksima på en 7 m skjerm ligger med avstand $\Delta x$ . Hva er prinsippet for å finne $\lambda$ og $a$ ?

Vis løsning

λ fra konvolutten.

Den brede enkeltspalt-konvolutten har minima ved $b\sin\theta=\lambda$ . Mål første minimum-vinkel ⇒ $\lambda=b\sin\theta\approx b\,(x/L)$ .

a fra hovedmaksima.

De skarpe gitter-toppene ligger ved $a\sin\theta=m\lambda$ . Mål avstanden mellom dem ⇒ $a=\dfrac{m\lambda L}{x_m}$ .

Mellom to hovedmaksima ligger $N-1=3$ minima og $N-2=2$ sekundærmaksima — en god kontroll på at $N=4$ .

Svar

\lambda

fra enkeltspalt-minima;

a

fra hovedmaksima-avstand

Sjekk deg selv

Mer forklaring — gitteret skiller bølgelengder med orden og antall spalter

Et gitter gir smale topper fordi mange spalter må være i fase samtidig. Flere belyste spalter gir smalere topper og bedre evne til å skille nære bølgelengder.

Høyere orden gir også bedre oppløsning, men ordenene kan overlappe; det frie spektralområdet $\lambda_\text{fsr}=\lambda_1/m$ er intervallet før de overlapper. Derfor må du alltid sjekke hvilke bølgelengder som kan eksistere i samme vinkelområde (jf. $m\lambda=a(\sin\theta_i+\sin\theta_m)$ ).

Regneeksempel gittervinkel og oppløsning

Et gitter har 600 linjer/mm og belyses normalt med $\lambda=500\text{ nm}$ . Finn vinkelen for 1. orden og oppløsningen hvis 3000 spalter er belyst.

Vis løsning

Gitteravstand.

$a=1/(600\times10^3)=1{,}67\times10^{-6}\text{ m}$ .

Vinkel.

Normal innfall: $m\lambda=a\sin\theta$ . For $m=1$ : $\sin\theta=500\times10^{-9}/1{,}67\times10^{-6}=0{,}300$ , så $\theta=17{,}5^\circ$ .

Oppløsning.

$\mathcal R=mN=1\cdot3000=3000$ .