Med skjermen i linsens brennplan viser mønsteret …

Fourier-transformen av aperturfeltet

Gitterordener kan overlappe fordi …

samme vinkel kan tilfredsstille likningen for ulike m og \lambda

alle bølgelengder har samme energi

Fourier-transformen mangler fase

Hva øker gitterets spektrale oppløsning?

høyere orden eller flere belyste spalter

Fourier-optikk & diffraksjonsgitteret

Fjernfeltmønsteret er Fourier-transformen av aperturen. Den setningen har to praktiske konsekvenser: en linse henter Fourier-transformen inn i sitt brennplan, så du slipper å vente på fjernfeltet, og et gitter med tusenvis av spalter gjør transformen til et måleinstrument som sorterer lys etter bølgelengde.

Linsen som Fourier-transformator

Fraunhofer-integralet er matematisk en Fourier-transform: hvert punkt i fjernfeltet svarer til én romlig frekvens i aperturen. Grove strukturer sender lys i små vinkler, fine strukturer i store. Kravet for å bruke det direkte er strengt: fjernfeltet begynner først når $\text{areal}/(\lambda R)\ll1$ , og for en åpning på 1 cm² i synlig lys betyr det avstander på hundrevis av meter.

Linsen løser det. En tynn linse forsinker lyset mest på midten, og tykkelsesfunksjonen gir den fasetransmisjonen

\displaystyle t_a(x,y)=e^{-ik(x^2+y^2)/2f}

Tynn linse som faseelement; på veien dukker linsemakerformelen opp i

1/f

Settes dette inn i diffraksjonsintegralet med skjermen i brennplanet, kansellerer linsens kvadratiske fase nøyaktig integralets egen, og det som står igjen er en ren Fourier-transform av aperturfeltet. En linse henter altså fjernfeltet inn i brennplanet sitt, på en brennviddes avstand. Det er grunnlaget for all optisk bildebehandling i frekvensplanet.

Faser kan i det hele tatt manipuleres på tre måter: endre veilengden (en linse), endre brytningsindeksen, eller bruke diffraksjon. Moderne romlige lysmodulatorer styrer fasen piksel for piksel på akkurat dette grunnlaget.

Gitteret

Flerspaltformelen er gitterets ligning i forkledning:

\displaystyle I=I_0'\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\left(\dfrac{\sin N\alpha}{\sin\alpha}\right)^2

N

spalter med bredde

b

og avstand

a

;

\alpha=\pi a\sin\theta/\lambda

\beta=\pi b\sin\theta/\lambda

Ved $\alpha=m\pi$ er alle spaltene i fase, og grenseverdien (L’Hôpital) viser at hovedmaksima vokser som $N^2$ i høyde og krymper som $1/N$ i bredde. Mellom to hovedmaksima ligger $N-1$ minima (der $N\alpha=p\pi$ uten at $\alpha$ selv er et multiplum av $\pi$ ) og $N-2$ svake sekundærmaksima. Med titusenvis av riller blir toppene knivskarpe, og posisjonene gis av gitterlikningen:

Skarpe topper hvis posisjon avhenger av $\lambda$ er nettopp et spektroskop: en inngangsspalt, gitteret og en detektorrekke er hele instrumentet.

Regneeksempel natriumdubletten

Natrium har to gule linjer på 589,00 og 589,59 nm. Hvor mange belyste gitterspalter trengs for å skille dem i første orden, og i andre?

Vis løsning Skjul løsning

Oppløsningen som kreves, er $\mathcal R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=\dfrac{589{,}3}{0{,}59}\approx1{,}0\times10^3$ .

Med $\mathcal R=mN$ trengs $N\approx1000$ spalter i første orden, og halvparten, rundt 500, i andre. Et gitter på noen millimeter klarer det med god margin.

Svar

N\approx1000

i 1. orden,

\approx500

i 2. orden

Dispersjon, oppløsning og fritt spektralområde

Tre tall karakteriserer gitteret som spektroskop. Dispersjonen sier hvor mye vinkelen endrer seg per bølgelengde, oppløsningen hvilke linjer som kan skilles, og det frie spektralområdet hvor bredt spektrum som kan måles før ordenene blander seg:

\displaystyle \mathcal D=\dfrac{d\theta_m}{d\lambda}=\dfrac{m}{a\cos\theta_m}

Vinkeldispersjon: høyere orden og tettere riller sprer spekteret mer.

\displaystyle \mathcal R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN

Oppløsning: orden ganger antall belyste spalter.

\displaystyle \lambda_\text{fsr}=\dfrac{\lambda_1}{m}

Fritt spektralområde: bølgelengdeintervallet før naboordenen overlapper.

Høyere orden gir bedre oppløsning og dispersjon, men mindre fritt spektralområde, fordi gitterlikningen bare inneholder produktet $m\lambda$ : 600 nm i første orden lander i samme vinkel som 300 nm i andre. Et spektrometer må derfor filtrere bort ordener det ikke vil se.

Regneeksempel gittervinkel og oppløsning

Et gitter har 600 linjer/mm og belyses normalt med $\lambda=500$ nm. Finn vinkelen for første orden, og oppløsningen når 3000 spalter er belyst.

Vis løsning Skjul løsning

Spalteavstanden (gitterkonstanten) er $a=1/600$ mm $=1{,}67$ µm. Normalt innfall gir $\sin\theta_1=\lambda/a=0{,}300$ , så $\theta_1=17{,}5^\circ$ .

Oppløsningen er $\mathcal R=mN=1\cdot3000=3000$ , nok til å skille linjer 0,17 nm fra hverandre ved 500 nm.

Svar

\theta_1\approx17{,}5^\circ

;

\mathcal R=3000