Stråle-transfer-matriser (ray tracing)

Tynnlinsealgebra fungerer for én og to linser, men et kamera-objektiv med fem elementer blir fort uoversiktlig. Matrisemetoden skalerer: en paraksial stråle er en vektor, hvert element er en $2\times2$-matrise, og hele systemet er ett matriseprodukt. Etterpå leser du fysikken rett ut av de fire tallene i produktet.

Strålen som vektor

En paraksial stråle i et gitt plan langs aksen er bestemt av to tall: høyden $y$ over aksen og vinkelen $\alpha$ mot den. Alt et optisk element gjør i paraksial tilnærming, er lineært i $y$ og $\alpha$, så virkningen er en matrise:

$\begin{pmatrix} y_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix}$

Noen kilder skriver elementene $A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}$ i stedet for $A,B,C,D$; det er samme matrise. To operasjoner bygger alt: fri translasjon endrer høyden ($y_2=y_1+d\,\alpha_1$), brytning i en flate endrer vinkelen via Snells lov i linearisert form.

Tynnlinsematrisen faller ut av å kjede flate–translasjon–flate og la tykkelsen gå mot null; på veien detter linsemakerformelen ut som biprodukt, en fin kontroll på at metoden stemmer med tynnlinseteorien.

Systemmatrisen

Lyset møter elementene i rekkefølgen 1, 2, 3, men matrisene skrives i motsatt rekkefølge: $M=M_n\cdots M_2M_1$, siste element lengst til venstre. Det er den vanligste feilen i hele metoden. Etter multiplikasjonen har du to raske kontroller. Determinanten skal være $n_1/n_2$, altså 1 når systemet starter og slutter i samme medium; gjør sjekken i hvert regneeksempel før tolkningen begynner. Og består systemet bare av tynne linser i luft, kan du kontrollere svaret mot tynnlinselikningen brukt linse for linse.

1. Del systemet i elementer

   Gå langs aksen og list hvert element lyset møter: translasjon ($d$), tynn linse ($f$), plan eller sfærisk flate ($R$).

2. Skriv elementmatrisene

   Slå opp $2\times2$-matrisen for hvert element.

3. Multipliser i motsatt rekkefølge

   $M=M_n\cdots M_2M_1$: det siste elementet lyset møter står lengst til venstre.

4. Kontroller determinanten

   $\det M=1$ i samme medium, ellers $n_1/n_2$. Feil determinant betyr regnefeil.

5. Les av fysikken

   Bruk tabellen under: nuller i matrisen er optiske utsagn.

De fire spesialtilfellene

Et null i systemmatrisen er et optisk utsagn, og alle fire tilfellene er meningsfulle:

$B=0$ er selve avbildningskravet: utgangshøyden er uavhengig av inngangsvinkelen, så alle stråler fra samme objektpunkt samles i samme bildepunkt. $C=0$ kjennetegner teleskopet. De to siste sier hvor brennplanene ligger, og det er dem du bruker når systemet ikke er en enkel linse.

Kardinalpunkter: systemet som én linse

Et sammensatt system i luft oppfører seg som én tynn linse, bare ikke målt fra noen fysisk flate. Det finnes to plan, hovedplanene $H_1$ og $H_2$, slik at tynnlinselikningen gjelder eksakt når $s_o$ måles til $H_1$ og $s_i$ fra $H_2$. Sammen med brennpunktene $F_1$ og $F_2$ (og nodalpunktene, som i luft faller sammen med hovedpunktene) er de systemets kardinalpunkter. Alt leses ut av systemmatrisen mellom første og siste flate: