Stråle-transfer-matriser (ray tracing)

Kjernen i temaet

En stråle beskrives av høyde $y$ og vinkel $\alpha$ over aksen. Hvert optisk element virker som en lineær transformasjon — en matrise. Et helt system er produktet av matrisene.

$\begin{pmatrix} y_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix}$

Rekkefølge!

Lys treffer elementene i rekkefølge 1, 2, 3 … men matrisen skrives i motsatt rekkefølge: $M = M_n \cdots M_2 M_1$ . Det siste elementet lyset møter står lengst til venstre.

Tolkning

B = 0: inn- og utplan er konjugerte (objekt/bilde). Da er $A=m$ (lateral forstørrelse).
C = 0: teleskopisk/afokalt system (parallelt inn → parallelt ut).
$\det M = n_1/n_2$ (=1 om samme medium) — nyttig kontroll.
$-1/C = f$ for systemets effektive brennvidde.

\displaystyle \begin{pmatrix}1 & d \\ 0 & 1\end{pmatrix}

Translasjon avstand

d

(i samme medium).

\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1/f & 1\end{pmatrix}

Tynn linse med brennvidde

f

\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & n_1/n_2\end{pmatrix}

Brytning i plan flate.

\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{n_2 R} & n_1/n_2\end{pmatrix}

Brytning i sfærisk flate radius

R

Del systemet i elementer

Gå langs aksen og list opp hvert element lyset møter i tur og orden: fri propagasjon ( $d$ ), tynn linse ( $f$ ), plan eller sfærisk flate ( $R$ ).
Skriv hver elementmatrise

Slå opp $2\times2$ -matrisen for hvert element fra listen over.
Multipliser i motsatt rekkefølge

Det siste elementet lyset møter står lengst til venstre: $M=M_n\cdots M_2 M_1$ .
Kontroller determinanten

I samme medium skal $\det M=1$ (ellers $n_1/n_2$ ) — en rask feilsjekk før du tolker.
Les av diagnostikken

$B=0$ ⇒ konjugerte plan og $A=m$ ; $C=0$ ⇒ afokalt; $-1/C=f_\text{eff}$ .

Regneeksempel

En tynn linse $f=10$ cm, så fri rom $d=15$ cm til skjermen. Finn systemmatrisen fra linseplan til skjerm, og avgjør om skjermen er i bildeplanet for et fjernt objekt.

Vis løsning

Rekkefølge.

Lys: linse → translasjon. Matrise: $M = T\,L$ .

Produkt.

$M=\begin{pmatrix}1&15\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-1/10&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-1{,}5&15\\-0{,}1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0{,}5&15\\-0{,}1&1\end{pmatrix}$ .

Fjernt objekt ⇒ parallelle stråler ( $\alpha_1=0$ ) fokuserer ved $f=10$ cm, ikke 15 cm. $B\neq0$ , så skjermen er ikke i bildeplanet for uendelig objekt.

Svar

M=\begin{pmatrix}-0{,}5 & 15\\-0{,}1 & 1\end{pmatrix}

; fokus ved 10 cm

Sjekk deg selv

Mer forklaring — hva matrisen egentlig gjør

Ray-transfer-metoden er mest nyttig når du bruker matriseelementene som diagnostikk. $B=0$ betyr at utgangshøyden ikke avhenger av inngangsvinkelen; alle stråler fra samme objektpunkt møtes i bildeplanet.

For et system i samme medium bør determinanten være 1. Det er en enkel kvalitetskontroll etter matrisemultiplikasjon.

Regneeksempel finn bildeplanet med

B=0

Et objekt står $s_o=30\text{ cm}$ foran en tynn linse med $f=10\text{ cm}$ . Bruk matriseideen til å finne avstanden $d$ fra linsen til bildeplanet.

Vis løsning

System.

Fra objektplan til bildeplan: $M=T(d)L(f)T(s_o)$ . Bildeplan krever $B=0$ .

Resultat.

Multiplikasjon gir $B=s_o+d-ds_o/f$ . Sett $B=0$ : $30+d-3d=0\Rightarrow d=15\text{ cm}$ .