For total intern refleksjon må lyset gå …

fra tett til tynt medium, over kritisk vinkel

Total intern refleksjon, evanescente bølger & bølgeledere

Total intern refleksjon ser ut som geometrisk optikk, men gjemmer ren bølgefysikk: refleksjonskoeffisientene blir komplekse, lyset får en polarisasjonsavhengig faseforskyvning, og feltet lever videre et lite stykke inn i det tynne mediet. Den evanescente halen er arbeidshesten bak overflatemikroskopi og bølgeledere, og på veien forklarer dråpeoptikken regnbuen.

Over kritisk vinkel

Matematisk skjer det i kvadratroten i Fresnels likninger: for $\theta>\theta_c$ blir $n^2-\sin^2\theta$ negativ, roten imaginær, og koeffisientene komplekse tall på formen $r=\dfrac{a-ib}{a+ib}$ . Størrelsen er da nøyaktig 1, men lyset får en faseforskyvning, og den er forskjellig for de to polarisasjonene:

$\tan\frac{\varphi_{TE}}{2}=-\frac{\sqrt{\sin^2\theta-(n_2/n_1)^2}}{\cos\theta},\qquad \tan\!\left(\frac{\varphi_{TM}}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\sqrt{\sin^2\theta-(n_2/n_1)^2}}{(n_2/n_1)^2\cos\theta}$

Velges vinkelen riktig, gir én eller to totalrefleksjoner en kvartperiodes forskyvning mellom komponentene, og lineært polarisert lys kommer ut sirkulært. Det er også derfor sirkulært lys som totalreflekteres, generelt kommer ut elliptisk.

Regneeksempel 45-gradersprismet

Glass med $n=1{,}50$ i luft. Hva er kritisk vinkel, og vil en stråle som treffer den indre flaten med $45^\circ$ totalreflekteres?

Vis løsning Skjul løsning

$\sin\theta_c=1{,}00/1{,}50=0{,}667$ , så $\theta_c=41{,}8^\circ$ . Siden $45^\circ>41{,}8^\circ$ totalreflekteres strålen. Derfor kan rettvinklede prismer brukes som tapsfrie speil i kikkerter, uten metallbelegg.

Svar

\theta_c=41{,}8^\circ

;

45^\circ

gir total intern refleksjon

Den evanescente bølgen

At ingen effekt krysser flaten, betyr ikke at feltet er null der. Over kritisk vinkel blir normalkomponenten av bølgevektoren i medium 2 imaginær, og den transmitterte løsningen går fra å svinge til å dø eksponentielt:

\displaystyle I(z)=I(0)\,e^{-z/z_d},\qquad z_d=\dfrac{\lambda}{2\pi\sqrt{(n_1/n_2)^2\sin^2\theta-1}}

Evanescent intensitet og inntrengningsdybde;

z

måles inn i det tynne mediet.

Dybden er av størrelsesorden en brøkdel av bølgelengden, og den divergerer når $\theta$ nærmer seg $\theta_c$ ovenfra.

Regneeksempel inntrengningsdybde

Lys med $\lambda=500$ nm totalreflekteres inne i glass ( $n_1=1{,}50$ ) mot luft ved $\theta=60^\circ$ . Hvor dypt trenger intensiteten inn i luften?

Vis løsning Skjul løsning

$(n_1/n_2)\sin\theta=1{,}50\cdot0{,}866=1{,}30$ , så $(1{,}30)^2-1=0{,}687$ og $\sqrt{0{,}687}=0{,}83$ . Dermed

$z_d=\dfrac{500\ \text{nm}}{2\pi\cdot0{,}83}\approx96\ \text{nm}.$

Feltet er altså i praksis borte etter noen hundre nanometer.

Svar

z_d\approx96

Den korte rekkevidden er et verktøy. I TIR-fluorescensmikroskopi (TIRFM) belyses prøven med det evanescente feltet fra et dekkglass i totalrefleksjon: bare fluoroforer innenfor de nærmeste hundre nanometerne fra glasset eksiteres, så bildet viser celleoverflaten skarpt uten lys fra resten av cellen. Kontrasten mot vanlig gjennombelysning er dramatisk, og det er den evanescente dybden som gjør jobben.

Regnbuen

En solstråle som treffer en vanndråpe, brytes inn, reflekteres én gang på innsiden og brytes ut igjen. Avbøyningsvinkelen avhenger av hvor på dråpen strålen treffer, men den har et minimum nær $138^\circ$ , og nær et minimum hoper strålene seg opp. Derfor kommer det konsentrert lys tilbake i en kjegle omtrent $180^\circ-138^\circ=42^\circ$ fra antisolpunktet, og det er primærbuen. Dispersjonen i $n(\lambda)$ flytter minimet litt med fargen, så buen spaltes: rødt ytterst, fiolett innerst.

To indre refleksjoner gir sekundærbuen ved omtrent $51^\circ$ , svakere og med fargene i motsatt rekkefølge. Mellom buene reflekteres lite lys mot øyet, og det mørke båndet der bærer Alexanders navn.

Moder i en plan bølgeleder

Legg en tynn film med høy indeks $n_1$ mellom to lag med lavere indeks $n_2$ , og lys kan fanges i filmen av total intern refleksjon mot begge flatene. Feltbeskrivelsen løser Maxwells likninger i alle tre lagene: en stående bølge på tvers av kjernen, evanescente haler ut i begge kappene. Kravet om at felt og deriverte skal henge sammen ved begge grenseflatene lar seg bare oppfylle for bestemte tverrvinkler, og løsningene er diskrete moder:

\displaystyle \dfrac{2\pi b}{\lambda}\sqrt{n_1^2-N^2}=2\arctan\!\sqrt{\dfrac{N^2-n_2^2}{n_1^2-N^2}}+m\pi

TE-moder i en plan filmleder med kjerneindeks

n_1

, tykkelse

b

og kappeindeks

n_2

;

m=0,1,2,\dots

Hver mode $m$ har sin effektive indeks $N$ mellom $n_2$ og $n_1$ (utbredelseskonstanten er $\beta=2\pi N/\lambda$ ) og sin egen feltfordeling: grunnmoden $m=0$ har én buk, høyere moder flere, og jo høyere mode, desto mer av feltet ligger i de evanescente halene. En tynn eller svakt ledende film bærer bare grunnmoden; tykkere filmer bærer flere. Likningen er transcendental og løses grafisk eller numerisk. Eksperimentelt kan en bestemt mode eksiteres ved å fasetilpasse med et prisme mot den evanescente halen (dempet totalrefleksjon, ATR). Strålebildet av det samme er lys som sikksakker i en fiberkjerne, grunnlaget for fiberoptikken.

Hovedpunkter

TIR krever $n_1>n_2$ og $\theta>\theta_c$ med $\sin\theta_c=n_2/n_1$ ; da er $|r|=1$ med polarisasjonsavhengig faseforskyvning.
Faseforskjellen $\varphi_{TM}-\varphi_{TE}$ kan gjøre lineært lys sirkulært; sirkulært lys kommer generelt ut elliptisk.
Den evanescente intensiteten faller som $e^{-z/z_d}$ med $z_d=\lambda/(2\pi\sqrt{(n_1/n_2)^2\sin^2\theta-1})$ , typisk under 100 nm; TIRFM bruker dette til ren overflateavbildning.
Regnbuen: minimumsavbøyning nær $138^\circ$ gir primærbuen ved $42^\circ$ med rødt ytterst; to refleksjoner gir sekundærbuen ved $51^\circ$ med snudde farger.
En plan filmleder har diskrete moder $m=0,1,\dots$ med effektiv indeks $n_2<N<n_1$ ; tynn film gir én mode.