Superposisjon & Youngs dobbeltspalt

Bølgelikningen er lineær, så to løsninger lagt sammen er også en løsning. Alt i denne modulen følger av den ene setningen: intensiteten til to overlagrede felt får et kryssledd, kryssleddet lager striper i Youngs dobbeltspalt, og legger du sammen to nærliggende frekvenser i stedet for to veier, får du svevninger og begrepet gruppehastighet.

Tostråle-interferens

To felt med amplituder $E_{01},E_{02}$ og faser $\alpha_1,\alpha_2$ legges sammen som fasorer:

\displaystyle E_0^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}\cos(\alpha_2-\alpha_1)

Fasoraddisjon av to felt med samme frekvens og polarisasjon.

Skrevet i intensiteter er det samme

\displaystyle I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta

Tostråle-interferens;

\delta=\tfrac{2\pi n}{\lambda}(s_2-s_1)

er faseforskjellen fra veiforskjellen.

For like sterke stråler blir dette $4I_0\cos^2(\delta/2)$ : fire ganger én stråle på toppene, null i bunnene. Er strålene ulike, fylles bunnene delvis igjen, og kontrasten måles med synligheten $V=(I_\text{max}-I_\text{min})/(I_\text{max}+I_\text{min})=2\sqrt{I_1I_2}/(I_1+I_2)$ :

Synlighet som funksjon av intensitetsforholdet mellom strålene.
$I_2/I_1$	$V$
1	1,00
0,5	0,94
0,1	0,57
0,01	0,20

Kontrasten tåler altså en del skjevhet; selv en tidoblet intensitetsforskjell gir over halv synlighet.

Youngs dobbeltspalt

To spalter med senteravstand $a$ belyses koherent, og skjermen står i avstand $L$ . Veiforskjellen mot vinkelen $\theta$ er $a\sin\theta$ , så maksima ligger der $a\sin\theta=m\lambda$ , og i småvinkelgrensen er mønsteret

\displaystyle I=4I_0\cos^2\!\Big(\dfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\Big)

Youngs intensitetsmønster;

a

er spalteavstanden (senter til senter).

\displaystyle \Delta y=\dfrac{\lambda L}{a}

Stripeavstanden på skjermen i avstand

L

Stripene sitter jevnt: større spalteavstand gir tettere striper, lengre bølgelengde gir bredere. Skyves en glassplate med tykkelse $t$ og indeks $n$ foran den ene spalten, øker den optiske veilengden i den armen med $(n-1)t$ , og hele mønsteret forskyves med

\displaystyle N=\dfrac{(n-1)t}{\lambda}

Antall striper mønsteret forskyves av en glassplate over én spalt.

Endre spalteavstand og bølgelengde i figuren, og se stripene trekkes sammen eller spres.

Interaktivt: Youngs interferensmønster

Regneeksempel stripeavstand og glassplate

Spalteavstanden er $a=0{,}5$ mm og $\lambda=600$ nm. (i) Hvilken skjermavstand $L$ gir stripeavstand 1 mm? (ii) En glassplate med $n=1{,}502$ og $t=100$ µm legges over den ene spalten. Hvor mange striper forskyves mønsteret?

Vis løsning Skjul løsning

(i) $L=\dfrac{a\,\Delta y}{\lambda}=\dfrac{(0{,}5\times10^{-3})(1{,}0\times10^{-3})}{600\times10^{-9}}=0{,}83$ m.

(ii) $N=\dfrac{(n-1)t}{\lambda}=\dfrac{0{,}502\cdot100\times10^{-6}}{600\times10^{-9}}\approx84$ striper.

Svar

L=0{,}83

\approx84

striper

Interferensoppgaver er ofte en oversettelse mellom veiforskjell, fase og intensitet via $\Delta\phi=2\pi\Delta/\lambda$ . Maksimum krever et helt antall bølgelengder i veiforskjell, minimum et halvtallig antall, og alt imellom leses av $\cos^2$ -kurven.

Regneeksempel fase og intensitet

To like sterke koherente stråler har veiforskjell $\Delta=\lambda/3$ . Hva blir intensiteten relativt til maksimum?

Vis løsning Skjul løsning

Faseforskjellen er $\Delta\phi=2\pi(\Delta/\lambda)=2\pi/3$ . For like amplituder er $I/I_\text{max}=\cos^2(\Delta\phi/2)=\cos^2(\pi/3)=1/4$ .

Svar

I=0{,}25\,I_\text{max}

To frekvenser: svevninger og gruppehastighet

Legg sammen to like sterke bølger med nesten samme frekvens, og produktformelen for cosinus deler resultatet i en rask bærebølge og en langsom omhylling:

$E=2E_0\cos\!\Big(\tfrac{k_1+k_2}{2}z-\tfrac{\omega_1+\omega_2}{2}t\Big)\cos\!\Big(\tfrac{k_1-k_2}{2}z-\tfrac{\omega_1-\omega_2}{2}t\Big)$

Omhyllingen er svevningen. Bærebølgen beveger seg med fasehastigheten $v_p=\omega/k$ , omhyllingen med gruppehastigheten

\displaystyle v_g=\dfrac{d\omega}{dk}=v_p\left(1+\dfrac{\lambda}{n}\dfrac{dn}{d\lambda}\right)

Gruppehastighet. I et ikke-dispersivt medium er

v_g=v_p

; med normal dispersjon (

dn/d\lambda<0

) er

v_g<v_p

I vakuum følges de to. I et dispersivt medium går energien og informasjonen med $v_g$ , og ulike spektralkomponenter i en puls går ulikt fort, så pulsen smøres ut. Det er denne mekanismen som begrenser hvor fort det kan blinkes gjennom en optisk fiber.

Hovedpunkter

Felt summeres, intensiteter gjør det ikke: $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta$ , og for like stråler $4I_0\cos^2(\delta/2)$ .
Synligheten $V=2\sqrt{I_1I_2}/(I_1+I_2)$ måler stripekontrasten; den tåler betydelig intensitetsskjevhet.
Young: maksima ved $a\sin\theta=m\lambda$ , stripeavstand $\Delta y=\lambda L/a$ ; en glassplate forskyver $N=(n-1)t/\lambda$ striper.
Oversett alltid veiforskjell til fase med $\Delta\phi=2\pi\Delta/\lambda$ .
To nære frekvenser gir bærebølge pluss omhylling: fasehastighet $\omega/k$ mot gruppehastighet $d\omega/dk$ , og i dispersive medier går pulser med $v_g$ .