Ray tracing — komplett matriseguide

Kjernen i temaet

Ray tracing med matriser er den mest eksamensnære delen av geometrisk optikk: nesten hvert eksamenssett har en «match system ↔ matrise»-oppgave eller ber deg regne deg gjennom et linsesystem. Hele trikset er at paraksial optikk er lineær.

En stråle beskrives ved høyden $y$ over den optiske aksen og vinkelen $\alpha$ den danner med aksen. Hvert optisk element transformerer $(y,\alpha)$ lineært, så det kan skrives som en $2\times2$ -matrise:

$\begin{pmatrix} y_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix}$

Et helt system er produktet av elementmatrisene. Da kan du behandle et komplisert instrument som én enkelt matrise og lese av alt du trenger fra de fire tallene $A,B,C,D$ .

Hver stråle er ett punkt beskrevet av to tall: høyden $y$ over aksen og helningen $\alpha$ . Det er disse to tallene matrisene virker på.

Visuelt: strålevektoren

(y,\alpha)

Interaktiv simulering krever JavaScript.

Fortegnskonvensjon — fest dette først

Feil fortegn er vanligere enn feil algebra. Pedrotti-konvensjonen (lys går venstre → høyre):

Størrelse	Positiv når …	Tolkning
$y$	over aksen	strålehøyde
$\alpha$	strålen heller oppover (mot klokken)	liten vinkel, $\tan\alpha\approx\alpha$
$R$	krumningssenter til høyre for flaten	konveks mot innkommende lys ⇒ $R>0$
$s_o$	objekt til venstre for flaten	reelt objekt
$s_i$	bilde til høyre for flaten	reelt bilde
$f$	samlende element	positiv linse / konkavt speil

Vinkelen holdes liten (paraksial: $\sin\alpha\approx\tan\alpha\approx\alpha$ i radianer).

Manuell strålegang med linjal (grafisk metode)

På eksamen besvares to oppgaver for hånd, og én er nesten alltid strålegang. Du trenger bare linjal, blyant og noen få faste regler — ingen matriser. Tegn den optiske aksen, marker linsa/speilet og brennpunktene $F$ og $F'$ i målestokk, og la lyset gå fra venstre mot høyre.

Positiv (samlende) linse — tre hovedstråler

Tegn to av disse fra objektets topp; bildet er der de krysser. Den tredje er en gratis kontroll.

Parallellstrålen: inn parallelt med aksen → brytes og går gjennom bakre brennpunkt $F'$ .
Sentralstrålen: rett gjennom linsens sentrum → fortsetter ubrutt (rett linje).
Brennpunktstrålen: inn gjennom fremre brennpunkt $F$ → kommer ut parallelt med aksen.

Negativ (sprende) linse — samme stråler, lett endret

Parallellstrålen brytes som om den kom fra fremre $F$ — forleng den bakover med stiplet linje.
Sentralstrålen går rett gjennom.
En stråle rettet mot bakre $F'$ kommer ut parallelt med aksen.

Strålene spriker etter linsa, så bildet ligger der de bakover-forlengede (stiplede) strålene møtes: alltid virtuelt, opprett og forminsket.

Speil — refleksjonsregler

Stråle inn	Konkavt (samlende, $f=R/2>0$ )	Konvekst (sprende, $f<0$ )
Parallelt med aksen	reflekteres gjennom $F$	ser ut til å komme fra $F$ bak speilet
Gjennom (mot) $F$	reflekteres parallelt med aksen	reflekteres parallelt med aksen
Mot krumningssenter $C$	reflekteres rett tilbake langs seg selv	samme
Mot vertex (aksens treffpunkt)	reflekteres symmetrisk om aksen	samme

Les av svaret

Reelt bilde der virkelige stråler krysser (heltrukket); virtuelt der bare de stiplede forlengelsene krysser.
Invertert hvis bildetoppen havner under aksen, opprett hvis over.
Mål og kontroller med forstørrelsen $m=-s_i/s_o$ : $m<0$ = invertert, $|m|>1$ = forstørret.
Fortegn følger samme konvensjon som tabellen over ( $s_o,s_i,f$ positive til «riktig» side).

Tips: marker $F$ og $F'$ nøyaktig i målestokk før du tegner — unøyaktige brennpunkt er den vanligste feilen.

Velg oppsett og klikk «Neste steg» for å tegne hver hovedstråle slik du ville gjort for hånd. Heltrukne linjer er virkelige stråler, stiplede er bakover-forlengelser (virtuelle bilder).

Interaktivt: steg-for-steg strålegang

Interaktiv simulering krever JavaScript.

Objektavstand $s_o$ (venstre) og bildeavstand $s_i$ (høyre) måles fra linsen, brennvidden $f$ til brennpunktene $F,F'$ . To hjelpestråler — parallell $\to$ gjennom $F'$ , og rett gjennom sentrum — konstruerer bildet. Objektet står utenfor $2f$ , så bildet blir reelt, invertert og forminsket.

Visuelt: fortegn & avbildning

Interaktiv simulering krever JavaScript.

De fem byggematrisene

1 · Translasjon (fri propagasjon avstand $d$ )

Vinkelen er uendret, høyden vokser: $y_2=y_1+d\,\alpha_1,\ \alpha_2=\alpha_1$ .

$T(d)=\begin{pmatrix}1 & d \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ ( $d$ er en geometrisk avstand — samme uansett medium).

2 · Brytning i plan flate ( $n_1\to n_2$ )

Høyden er uendret; Snell i paraksial form $n_1\alpha_1=n_2\alpha_2$ gir $\alpha_2=(n_1/n_2)\alpha_1$ .

$R_P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & n_1/n_2\end{pmatrix}$

3 · Brytning i sfærisk flate (radius $R$ )

Grunnsteinen — tynn og tykk linse bygges av to slike.

$R_S=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ \dfrac{n_1-n_2}{n_2 R} & n_1/n_2\end{pmatrix}$

4 · Tynn linse (brennvidde $f$ )

To sfæriske flater med neglisjerbar tykkelse kollapser til ett «kick» i vinkelen: $\alpha_2=\alpha_1-y/f$ .

$L(f)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1/f & 1\end{pmatrix},\qquad \dfrac1f=\dfrac{n_2-n_1}{n_1}\!\left(\dfrac1{R_1}-\dfrac1{R_2}\right)$

5 · Sfærisk speil (radius $R$ )

Virker som en linse med $f=R/2$ , men folder strålegangen. Utbrettet matrise:

$M_\text{speil}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -2/R & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1/f & 1\end{pmatrix}$

Tykk linse: $M=R_S^{(2)}\,T(t)\,R_S^{(1)}$ — to flater med glasstykkelse $t$ imellom.

Translasjon flytter strålen uten å endre vinkelen; en tynn linse knekker vinkelen mot brennpunktet; en brytende flate endrer vinkelen etter Snell (høyden $y$ er kontinuerlig). Det er nettopp disse virkningene matrisene koder.

Visuelt: hva hvert element gjør med en stråle

Interaktiv simulering krever JavaScript.

\displaystyle T(d)=\begin{pmatrix}1 & d \\ 0 & 1\end{pmatrix}

Translasjon (fri propagasjon).

\displaystyle R_P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & n_1/n_2\end{pmatrix}

Brytning, plan flate.

\displaystyle R_S=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{n_2 R} & n_1/n_2\end{pmatrix}

Brytning, sfærisk flate.

\displaystyle L(f)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1/f & 1\end{pmatrix}

Tynn linse.

\displaystyle M_\text{speil}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -2/R & 1\end{pmatrix}

Sfærisk speil (

f=R/2

). må pugges

Bygg systemmatrisen — rekkefølgen er alt

Lyset møter elementene i rekkefølge 1, 2, 3 …, men matrisene skrives i motsatt rekkefølge fordi de virker fra høyre på strålevektoren:

$M_\text{sys}=M_n\cdots M_2\,M_1$ — det siste elementet lyset møter står lengst til venstre.

Determinant-sjekk: $\det M_\text{sys}=n_\text{start}/n_\text{slutt}$ . Starter og slutter du i samme medium (f.eks. luft) skal $\det M=1$ . Dette fanger regnefeil umiddelbart.
Tegn systemet i fysisk rekkefølge på papir først, og «les baklengs» når du setter opp produktet.

Les av de fire tallene

Betingelse	Betyr	Bruk
$B=0$	inn- og utplan er konjugerte (objekt↔bilde)	finn bildeplanet
$A$ ved $B=0$	lateral forstørrelse $m$	$m=A$ ; fortegn ⇒ reelt/virtuelt
$C=0$	afokalt / teleskopisk system	parallelt inn ⇒ parallelt ut
$D$ ved $C=0$	vinkelforstørrelse	$\alpha_2=D\,\alpha_1$
$-1/C$	effektiv brennvidde $f$	systemets brennvidde
$-A/C$	bakre brennavstand (BFD)	hvor fjernt lys fokuserer bak utplanet

Kobling til formelarket: kardinalpunkt-formlene ( $p=D/C,\ q=-A/C,\ f_s=-1/C$ osv.) er nettopp disse matriseelementene. Kjenner du $A,B,C,D$ , plugger du rett inn.

Ekvivalens av optiske veier

Den optiske veilengden (OPL) er $\text{OPL}=\sum_j n_j d_j$ — geometrisk lengde vektet med brytningsindeks. Lyset «føler» optisk vei, ikke geometrisk avstand: hver meter teller mer i et tregt medium (høy $n$ ).

Fermats prinsipp: en stråle følger den veien som gir stasjonær (oftest minste) optiske veilengde.

Avbildningsteoremet

En samlende linse fungerer nettopp fordi den utligner veiene: en randstråle går lengre i luft, men gjennom mindre glass; en aksenær stråle går kortere i luft, men gjennom mer (tregt) glass — netto OPL blir lik.

Formelarket skriver betingelsen for en brytende flate som $n_o d_o + n_i d_i = n_o s_o + n_i s_i$ : to ulike veier mellom konjugerte punkter har lik optisk lengde.

Kobling til matrisemetoden

Betingelsen $B=0$ er stråleoptikkens versjon av akkurat dette: utgangshøyden er uavhengig av inngangsvinkelen ⇔ alle stråler fra ett objektpunkt møtes igjen i ett bildepunkt ⇔ hver stråle har lik optisk vei dit. Bølge- og strålebildet sier altså det samme.

En punktkilde sender en stråleknippe gjennom to tynne linser. Dra brennviddene og avstanden og se strålene bøye i hvert linseplan og hvor det endelige bildet (oransje) dannes. Systemmatrisen $M=L_2\,T(D)\,L_1$ regnes ut live under figuren.

Interaktivt: to-linse ray tracer

Interaktiv simulering krever JavaScript.

Regneeksempel 1 tynn linse via matrise

Et objekt står $s_o=30\text{ cm}$ foran en tynn linse med $f=20\text{ cm}$ . Sett opp systemmatrisen fra objekt- til bildeplan, og finn bildeavstand og forstørrelse.

Vis løsning

Oppsett.

Fra objekt til bilde: $M=T(s_i)\,L(f)\,T(s_o)$ . Utmultiplisert:

$M=\begin{pmatrix}1-\frac{s_i}{f} & s_o+s_i-\frac{s_i s_o}{f}\\ -\frac1f & 1-\frac{s_o}{f}\end{pmatrix}$ .

Bildeplan: $B=0$ .

$s_o+s_i-\frac{s_i s_o}{f}=0$ . Med $s_o=30,\ f=20$ : $30+s_i-1{,}5\,s_i=0\Rightarrow 30-0{,}5\,s_i=0\Rightarrow s_i=60\text{ cm}$ .

Forstørrelse.

$m=A=1-\frac{s_i}{f}=1-\frac{60}{20}=-2$ . Kontroll: $\det M=1$ ✓.

Svar

s_i = 60

cm,

m = -2

— reelt, invertert, 2× forstørret

Regneeksempel 2 enkelt sfærisk flate

En lang glasstav ( $n=1{,}50$ ) har en konveks endeflate med $R=+20\text{ mm}$ . Et objekt står $80\text{ mm}$ ute i lufta foran flaten. Hvor dannes bildet, og hva er forstørrelsen?

Vis løsning

Avbildningslikning.

$B=0$ for $T(s_i)\,R_S\,T(s_o)$ gir enkeltflate-likningen $\dfrac{n_1}{s_o}+\dfrac{n_2}{s_i}=\dfrac{n_2-n_1}{R}$ .

Innsetting.

$\dfrac{1}{80}+\dfrac{1{,}5}{s_i}=\dfrac{0{,}5}{20}=0{,}025\Rightarrow \dfrac{1{,}5}{s_i}=0{,}0125\Rightarrow s_i=120\text{ mm}$ (inne i glasset, reelt).

Forstørrelse.

$m=-\dfrac{n_1 s_i}{n_2 s_o}=-\dfrac{1\cdot120}{1{,}5\cdot80}=-1$ (invertert, like stort).

Svar

s_i = 120

mm inne i glasset,

m = -1

Regneeksempel 3 afokalt teleskop

Et Kepler-teleskop har objektiv $f_1=100\text{ cm}$ og okular $f_2=4\text{ cm}$ , satt i avstand $D=f_1+f_2=104\text{ cm}$ . Vis at systemet er afokalt og finn vinkelforstørrelsen.

Vis løsning

Systemmatrise.

$M=L(f_2)\,T(D)\,L(f_1)$ gir $C=-\dfrac1{f_1}-\dfrac1{f_2}+\dfrac{D}{f_1 f_2}$ .

Afokal-sjekk.

$C=-0{,}01-0{,}25+\dfrac{104}{400}=-0{,}26+0{,}26=0$ ⇒ afokalt ✓.

Vinkelforstørrelse.

$D_\text{el}=1-\dfrac{D}{f_2}=1-26=-25$ . Parallelt inn ⇒ $\alpha_2=D_\text{el}\,\alpha_1$ , så $MP=-25\ (=-f_1/f_2)$ .

Svar

C = 0

(afokalt),

MP = -25

Flere regneoppgaver

Prøv selv før du åpner løsningen. Tegn systemet og bruk $\det M=1$ som sjekk.

Oppgave a)

To tynne linser, $f_1=+15\text{ cm}$ og $f_2=-15\text{ cm}$ , står i avstand $D=10\text{ cm}$ (luft). Finn systemmatrisen og effektiv brennvidde.

Vis løsning

$A=1-D/f_1=1-\tfrac{10}{15}=\tfrac13$ , $B=D=10$ , $D_\text{el}=1-D/f_2=1+\tfrac{10}{15}=\tfrac53$ .

$C=-\dfrac1{15}-\dfrac1{-15}+\dfrac{10}{15\cdot(-15)}=-\dfrac{10}{225}=-0{,}0444\text{ cm}^{-1}$ .

$\det M=\tfrac13\cdot\tfrac53-10\cdot(-0{,}0444)=0{,}556+0{,}444=1$ ✓. $f=-1/C=+22{,}5\text{ cm}$ .

Svar

f_\text{eff} = 22{,}5

cm — telefoto: lengre

f

enn begge linsene hver for seg

Oppgave b)

Et konkavt speil har $R=40\text{ cm}$ . Et objekt står $60\text{ cm}$ foran. Hvor dannes bildet?

Vis løsning

Speil: $f=R/2=20\text{ cm}$ . $\dfrac1{s_i}=\dfrac1f-\dfrac1{s_o}=\dfrac1{20}-\dfrac1{60}=\dfrac1{30}$ .

$s_i=30\text{ cm}$ , $m=-s_i/s_o=-0{,}5$ .

Svar

s_i = 30

cm foran speilet, reelt og invertert,

m = -0{,}5

Oppgave c)

En fisk svømmer $12\text{ cm}$ under vannflaten ( $n=1{,}33$ ). På hvilken dybde ser du fisken rett ovenfra?

Vis løsning

Plan flate, $R=\infty$ ⇒ $\dfrac{n_1}{s_o}+\dfrac{n_2}{s_i}=0$ . Lys vann→luft: $n_1=1{,}33,\ n_2=1{,}0$ .

$s_i=-\dfrac{n_2}{n_1}s_o=-\dfrac{1}{1{,}33}\cdot12=-9{,}0\text{ cm}$ (virtuelt, grunnere).

Svar

Tilsynelatende dybde

\approx 9{,}0

Oppgave d)

En beam expander bruker $f_1=20\text{ mm}$ og $f_2=100\text{ mm}$ i afokal oppstilling. Hvor mye utvides en kollimert stråle?

Vis løsning

Afokal: $D=f_1+f_2=120\text{ mm}$ ⇒ $C=0$ . $A=1-D/f_1=1-6=-5$ .

Kollimert inn ( $\alpha_1=0$ ): $y_2=A\,y_1$ , så strålediameteren skaleres med $|A|=5$ .

Svar

5× utvidelse

(= f_2/f_1)

Oppgave e) prøv med gradvise hint

To tynne linser, $f_1=+10\text{ cm}$ og $f_2=+20\text{ cm}$ , står i avstand $D=40\text{ cm}$ i luft. Hvor langt bak linse 2 fokuserer et fjernt objekt?

Et fjernt objekt betyr parallelt lys inn ( $\alpha_1=0$ ). Du leter etter bakre brennavstand (BFD), ikke effektiv $f$ .

Sett opp $M=L(f_2)\,T(D)\,L(f_1)$ og finn $A$ og $C$ . BFD $=-A/C$ , målt fra utgangsplanet (linse 2).

Løsning

$A=1-D/f_1=1-4=-3$ og $C=-\tfrac1{10}-\tfrac1{20}+\tfrac{40}{200}=-0{,}15+0{,}20=0{,}05\text{ cm}^{-1}$ .

BFD $=-A/C=3/0{,}05=60\text{ cm}$ bak linse 2. Kontroll: $\det M=1$ ✓.

Sjekk deg selv

Mer forklaring — effektiv f vs. bakre brennavstand

Effektiv brennvidde $f=-1/C$ måles fra hovedplanet, ikke fra glasset. Bakre brennavstand (BFD) $=-A/C$ måles fra utgangsplanet (siste flate). For en tykk linse eller et sammensatt system faller disse ikke sammen — derfor finnes hovedplan og kardinalpunkter.

Når en oppgave spør «hvor må skjermen stå for et fjernt objekt», spør den om BFD ( $-A/C$ ), ikke om $f$ .

Regneeksempel tolk en gitt systemmatrise

Et system i luft har $M=\begin{pmatrix}0{,}5 & -3\text{ cm}\\ -0{,}1\text{ cm}^{-1} & 2{,}6\end{pmatrix}$ . (a) Er den gyldig? (b) Effektiv brennvidde? (c) Hvor fokuserer et fjernt objekt bak utgangsplanet?

Vis løsning

Determinant.

$\det M=0{,}5\cdot2{,}6-(-3)(-0{,}1)=1{,}3-0{,}3=1$ ✓ — gyldig (luft→luft).

Effektiv f.

$f=-1/C=-1/(-0{,}1)=10\text{ cm}$ .

Fjernt objekt.

Parallelt inn ( $\alpha_1=0$ ): $y_2=Ay_1,\ \alpha_2=Cy_1$ . Fokus der høyden blir null: $x=-A/C=-0{,}5/(-0{,}1)=5\text{ cm}$ bak utgangsplanet (BFD).

Svar

\det M = 1

✓,

f = 10

cm, skjerm 5 cm bak utgangsplanet

Kjernen i temaet

Fortegnskonvensjon — fest dette først

Manuell strålegang med linjal (grafisk metode)

Positiv (samlende) linse — tre hovedstråler

Negativ (sprende) linse — samme stråler, lett endret

Speil — refleksjonsregler

Les av svaret

De fem byggematrisene

1 · Translasjon (fri propagasjon avstand ddd)

2 · Brytning i plan flate (n1→n2n_1\to n_2n1​→n2​)

3 · Brytning i sfærisk flate (radius RRR)

4 · Tynn linse (brennvidde fff)

5 · Sfærisk speil (radius RRR)

Bygg systemmatrisen — rekkefølgen er alt

Les av de fire tallene

Ekvivalens av optiske veier

Avbildningsteoremet

Kobling til matrisemetoden

Flere regneoppgaver

Sjekk deg selv

Mer forklaring — effektiv f vs. bakre brennavstand

Flere kontrollspørsmål

1 · Translasjon (fri propagasjon avstand $d$ )

2 · Brytning i plan flate ( $n_1\to n_2$ )

3 · Brytning i sfærisk flate (radius $R$ )

4 · Tynn linse (brennvidde $f$ )

5 · Sfærisk speil (radius $R$ )