Hvorfor er bakre brennavstand mindre enn effektiv brennvidde i eksempelet over?

hovedplanet ligger foran utgangsplanet

Ray tracing: komplett matriseguide

Dette er praksismodulen for matrisemetoden: konvensjonene, byggematrisene, den grafiske metoden og avlesningen samlet i én guide, med gjennomregnede eksempler og oppgaver du kan drille på. Tidligere eksamenssett har gjerne en «match systemet med matrisen»-oppgave eller et linsesystem som skal regnes gjennom, så håndlaget her er verdt å øve inn.

Strålen som vektor

Paraksial optikk er lineær, og det er hele grunnlaget for metoden. En stråle beskrives ved høyden $y$ over den optiske aksen og vinkelen $\alpha$ den danner med aksen. Hvert optisk element transformerer $(y,\alpha)$ lineært og kan skrives som en $2\times2$ -matrise:

$\begin{pmatrix} y_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix}$

Et helt system er produktet av elementmatrisene, så et komplisert instrument blir én matrise, og alt du trenger står i de fire tallene $A,B,C,D$ .

Visuelt: strålevektoren

(y,\alpha)

Fortegnskonvensjonen

Pedrotti-konvensjonen, med lys fra venstre mot høyre:

Fortegnskonvensjonen for paraksial optikk.
Størrelse	Positiv når …	Tolkning
$y$	over aksen	strålehøyde
$\alpha$	strålen heller oppover	liten vinkel, $\tan\alpha\approx\alpha$
$R$	krumningssenteret ligger til høyre for flaten	konveks mot innkommende lys gir $R>0$
$s_o$	objektet står til venstre for flaten	reelt objekt
$s_i$	bildet ligger til høyre for flaten	reelt bilde
$f$	elementet samler lys	positiv linse, konkavt speil

Grafisk strålegang med linjal

Grafisk strålegang går igjen som håndtegningsoppgave, og den krever bare linjal, blyant og noen få faste regler. Tegn den optiske aksen, marker linsen eller speilet og brennpunktene $F$ og $F'$ i målestokk, og la lyset gå fra venstre mot høyre.

Positiv (samlende) linse

Tegn to av de tre hovedstrålene fra objektets topp; bildet ligger der de krysser. Den tredje er en gratis kontroll.

Parallellstrålen: inn parallelt med aksen, brytes gjennom bakre brennpunkt $F'$ .
Sentralstrålen: rett gjennom linsens sentrum, fortsetter ubrutt.
Brennpunktstrålen: inn gjennom fremre brennpunkt $F$ , ut parallelt med aksen.

Negativ (spredende) linse

Parallellstrålen brytes som om den kom fra fremre $F$ ; forleng den bakover med stiplet linje.
Sentralstrålen går rett gjennom.
En stråle rettet mot bakre $F'$ kommer ut parallelt med aksen.

Strålene spriker etter linsen, så bildet ligger der de stiplede forlengelsene møtes: alltid virtuelt, opprett og forminsket.

Speil

Refleksjonsregler for hovedstråler på sfæriske speil.
Stråle inn	Konkavt (samlende, $f>0$ )	Konvekst (spredende, $f<0$ )
parallelt med aksen	reflekteres gjennom $F$	ser ut til å komme fra $F$ bak speilet
gjennom eller mot $F$	reflekteres parallelt med aksen	reflekteres parallelt med aksen
mot krumningssenteret	rett tilbake langs seg selv	rett tilbake langs seg selv
mot verteks (aksens treffpunkt)	reflekteres symmetrisk om aksen	reflekteres symmetrisk om aksen

Les av svaret slik: et reelt bilde ligger der virkelige stråler krysser (heltrukket), et virtuelt der bare forlengelsene krysser (stiplet). Havner bildetoppen under aksen, er bildet invertert. Kontroller til slutt med $m=-s_i/s_o$ . Marker $F$ og $F'$ nøyaktig i målestokk før du tegner; unøyaktige brennpunkter er den vanligste feilen.

Velg oppsett og klikk «Neste steg» for å tegne hver hovedstråle slik du ville gjort for hånd. Heltrukne linjer er virkelige stråler, stiplede er bakover-forlengelser.

Interaktivt: steg-for-steg strålegang

Objektavstand $s_o$ og bildeavstand $s_i$ måles fra linsen, brennvidden $f$ til brennpunktene $F$ og $F'$ . To hjelpestråler konstruerer bildet: parallell inn går gjennom $F'$ , og sentralstrålen går ubrutt. Objektet står utenfor $2f$ , så bildet blir reelt, invertert og forminsket.

Visuelt: fortegn & avbildning

De fem byggematrisene

1 · Translasjon, avstand $d$

Vinkelen er uendret, høyden vokser: $y_2=y_1+d\,\alpha_1$ , $\alpha_2=\alpha_1$ . $d$ er en geometrisk avstand, den samme uansett medium.

\displaystyle T(d)=\begin{pmatrix}1 & d \\ 0 & 1\end{pmatrix}

Translasjon (fri propagasjon).

2 · Brytning i plan flate, $n_{1} \to n_{2}$

Høyden er uendret; Snell i paraksial form $n_1\alpha_1=n_2\alpha_2$ gir $\alpha_2=(n_1/n_2)\,\alpha_1$ .

\displaystyle R_P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & n_1/n_2\end{pmatrix}

Brytning, plan flate.

3 · Brytning i sfærisk flate, radius $R$

Grunnsteinen; tynne og tykke linser bygges av to slike.

\displaystyle R_S=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{n_2 R} & n_1/n_2\end{pmatrix}

Brytning, sfærisk flate.

4 · Tynn linse, brennvidde $f$

To sfæriske flater med neglisjerbar tykkelse kollapser til ett knekk i vinkelen: $\alpha_2=\alpha_1-y/f$ .

\displaystyle L(f)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1/f & 1\end{pmatrix}

Tynn linse;

1/f

fra linsemakerformelen.

5 · Sfærisk speil, radius $R$

Virker som en linse, men folder strålegangen; matrisen under er den utbrettede formen. Her brukes konvensjonen $R>0$ for konkavt speil, så $f=R/2>0$ ; ankeret fra fortegnsfellen står seg, konkavt speil samler og har $f>0$ .

\displaystyle M_\text{speil}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -2/R & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1/f & 1\end{pmatrix}

Sfærisk speil, utbrettet.

En tykk linse settes sammen som $M=R_S^{(2)}\,T(t)\,R_S^{(1)}$ : to flater med glasstykkelse $t$ imellom.

Translasjon flytter strålen uten å endre vinkelen; en tynn linse knekker vinkelen mot brennpunktet; en brytende flate endrer vinkelen etter Snell mens høyden er kontinuerlig. Det er disse virkningene matrisene koder.

Visuelt: hva hvert element gjør med en stråle

Bygg systemmatrisen

Matrisene virker fra høyre på strålevektoren, så produktet skrives i motsatt rekkefølge: $M_\text{sys}=M_n\cdots M_2\,M_1$ , med det siste elementet lengst til venstre. Tegn systemet i fysisk rekkefølge på papir først, og les baklengs når du setter opp produktet. Kontroller determinanten før du tolker: $\det M_\text{sys}=n_\text{start}/n_\text{slutt}$ , altså 1 når systemet starter og slutter i samme medium.

Les av de fire tallene

Avlesning av systemmatrisen.
Betingelse	Betyr	Bruk
$B=0$	inn- og utplan er konjugerte	finn bildeplanet
$A$ når $B=0$	lateral forstørrelse $m$	fortegn avgjør reelt/virtuelt
$C=0$	afokalt (teleskopisk) system	parallelt inn gir parallelt ut
$D$ når $C=0$	vinkelforstørrelse	$\alpha_2=D\,\alpha_1$
$-1/C$	effektiv brennvidde $f$	målt fra hovedplanet
$-A/C$	bakre brennavstand (BFD)	hvor fjernt lys fokuserer bak utplanet

Kardinalpunkt-formlene er nettopp disse matriseelementene: kjenner du $A,B,C,D$ , setter du rett inn.

Avbildningskravet har også en bølgetolkning. Mellom et objektpunkt og bildepunktet har alle stråler samme optiske veilengde, så de ankommer i fase; for én brytende flate skrives kravet $n_od_o+n_id_i=n_os_o+n_is_i$ , der $d_o,d_i$ måles langs selve strålen og $s_o,s_i$ langs aksen. $B=0$ er stråleoptikkens versjon av det samme utsagnet: utgangshøyden uavhengig av inngangsvinkelen betyr at alle strålene fra ett objektpunkt samles igjen i ett punkt.

En punktkilde sender et stråleknippe gjennom to tynne linser. Dra brennviddene og avstanden og se strålene bøye i hvert linseplan og hvor det endelige bildet dannes. Systemmatrisen $M=L_2\,T(D)\,L_1$ regnes ut live under figuren.

Interaktivt: to-linse ray tracer

Regneeksempel 1 tynn linse via matrise

Et objekt står $s_o=30$ cm foran en tynn linse med $f=20$ cm. Sett opp systemmatrisen fra objekt- til bildeplan, og finn bildeavstand og forstørrelse.

Vis løsning Skjul løsning

Fra objekt til bilde er $M=T(s_i)\,L(f)\,T(s_o)$ . Utmultiplisert:

$M=\begin{pmatrix}1-\frac{s_i}{f} & s_o+s_i-\frac{s_i s_o}{f}\\[2pt] -\frac1f & 1-\frac{s_o}{f}\end{pmatrix}$

Bildeplanet krever $B=0$ : $s_o+s_i-s_is_o/f=0$ . Med $s_o=30$ og $f=20$ gir det $30+s_i-1{,}5\,s_i=0$ , altså $s_i=60$ cm. Forstørrelsen leses av $A$ : $m=1-s_i/f=1-3=-2$ . Determinanten er 1, som den skal.

Svar

s_i=60

cm,

m=-2

: reelt, invertert, dobbelt så stort

Regneeksempel 2 enkel sfærisk flate

En lang glasstav ( $n=1{,}50$ ) har en konveks endeflate med $R=+20$ mm. Et objekt står 80 mm ute i lufta foran flaten. Hvor dannes bildet, og hva er forstørrelsen?

Vis løsning Skjul løsning

$B=0$ for $T(s_i)\,R_S\,T(s_o)$ gir enkeltflate-likningen $\dfrac{n_1}{s_o}+\dfrac{n_2}{s_i}=\dfrac{n_2-n_1}{R}$ . Innsatt:

$\dfrac{1}{80}+\dfrac{1{,}5}{s_i}=\dfrac{0{,}5}{20}=0{,}025\quad\Rightarrow\quad s_i=120\ \text{mm},$

reelt og inne i glasset. Forstørrelsen er $m=-\dfrac{n_1s_i}{n_2s_o}=-\dfrac{1\cdot120}{1{,}5\cdot80}=-1$ .

Svar

s_i=120

mm inne i glasset,

m=-1

Regneeksempel 3 afokalt teleskop

Et Kepler-teleskop har objektiv $f_1=100$ cm og okular $f_2=4$ cm, satt i avstand $D=f_1+f_2=104$ cm. Vis at systemet er afokalt og finn vinkelforstørrelsen.

Vis løsning Skjul løsning

$M=L(f_2)\,T(D)\,L(f_1)$ gir $C=-\dfrac1{f_1}-\dfrac1{f_2}+\dfrac{D}{f_1f_2}$ . Innsatt: $C=-0{,}01-0{,}25+104/400=0$ , så systemet er afokalt. Nedre høyre element er $D_\text{el}=1-D/f_2=1-26=-25$ , og med parallelt lys inn er $\alpha_2=D_\text{el}\,\alpha_1$ . Vinkelforstørrelsen er $-25$ , det samme som $-f_1/f_2$ .

Svar

C=0

(afokalt), vinkelforstørrelse

-25

Flere regneoppgaver

Prøv selv før du åpner løsningen. Tegn systemet og bruk $\det M=1$ som sjekk.

Oppgave a)

To tynne linser, $f_1=+15$ cm og $f_2=-15$ cm, står i avstand $D=10$ cm i luft. Finn systemmatrisen og effektiv brennvidde.

Vis løsning Skjul løsning

$A=1-D/f_1=1/3$ , $B=D=10$ , nedre høyre element $1-D/f_2=5/3$ , og

$C=-\dfrac1{15}+\dfrac1{15}+\dfrac{10}{15\cdot(-15)}=-\dfrac{10}{225}=-0{,}0444\ \text{cm}^{-1}.$

Kontroll: $\det M=\tfrac13\cdot\tfrac53-10\cdot(-0{,}0444)=1$ . Effektiv brennvidde $f=-1/C=+22{,}5$ cm.

Svar

f_\text{eff}=22{,}5

cm, lengre enn begge linsene hver for seg (telefoto-prinsippet)

Oppgave b)

Et konkavt speil har $R=40$ cm. Et objekt står 60 cm foran. Hvor dannes bildet?

Vis løsning Skjul løsning

Konkavt speil: $f=20$ cm. Avbildningslikningen gir $1/s_i=1/20-1/60=1/30$ , så $s_i=30$ cm foran speilet, og $m=-s_i/s_o=-0{,}5$ .

Svar

s_i=30

cm foran speilet, reelt og invertert,

m=-0{,}5

Oppgave c)

En fisk svømmer 12 cm under vannflaten ( $n=1{,}33$ ). På hvilken dybde ser du fisken rett ovenfra?

Vis løsning Skjul løsning

Plan flate, $R\to\infty$ , gir $\dfrac{n_1}{s_o}+\dfrac{n_2}{s_i}=0$ med $n_1=1{,}33$ (vann) og $n_2=1$ (luft):

$s_i=-\dfrac{n_2}{n_1}s_o=-\dfrac{12}{1{,}33}=-9{,}0\ \text{cm},$

virtuelt og grunnere enn fisken faktisk står.

Svar

Tilsynelatende dybde

\approx9{,}0

Oppgave d)

En beam expander bruker $f_1=20$ mm og $f_2=100$ mm i afokal oppstilling. Hvor mye utvides en kollimert stråle?

Vis løsning Skjul løsning

Afokal oppstilling betyr $D=f_1+f_2=120$ mm og $C=0$ . Da er $A=1-D/f_1=1-6=-5$ , og med kollimert lys inn ( $\alpha_1=0$ ) er $y_2=A\,y_1$ . Strålediameteren skaleres med $|A|=5$ .

Svar

5 ganger utvidelse (

=f_2/f_1

)

Oppgave e) prøv med gradvise hint

To tynne linser, $f_1=+10$ cm og $f_2=+20$ cm, står i avstand $D=40$ cm i luft. Hvor langt bak linse 2 fokuserer et fjernt objekt?

Hint

Et fjernt objekt betyr parallelt lys inn ( $\alpha_1=0$ ). Du leter etter bakre brennavstand, ikke effektiv $f$ .

Hint

Sett opp $M=L(f_2)\,T(D)\,L(f_1)$ og finn $A$ og $C$ . BFD er $-A/C$ , målt fra linse 2.

Løsning

$A=1-D/f_1=1-4=-3$ og $C=-\tfrac1{10}-\tfrac1{20}+\tfrac{40}{200}=0{,}05\ \text{cm}^{-1}$ . BFD er $-A/C=3/0{,}05=60$ cm bak linse 2, og $\det M=1$ stemmer.

Effektiv brennvidde mot bakre brennavstand

Effektiv brennvidde $f=-1/C$ måles fra hovedplanet, ikke fra glasset. Bakre brennavstand måles fra utgangsplanet, altså siste flate. For en tykk linse eller et sammensatt system faller de ikke sammen, og det er derfor hovedplan finnes. Spør en oppgave «hvor må skjermen stå for et fjernt objekt», er svaret BFD $=-A/C$ .

Regneeksempel tolk en gitt systemmatrise

Et system i luft har $M=\begin{pmatrix}0{,}5 & -3\ \text{cm}\\ -0{,}1\ \text{cm}^{-1} & 2{,}6\end{pmatrix}$ . (a) Er den gyldig? (b) Effektiv brennvidde? (c) Hvor fokuserer et fjernt objekt bak utgangsplanet?

Vis løsning Skjul løsning

Determinanten er $0{,}5\cdot2{,}6-(-3)(-0{,}1)=1{,}3-0{,}3=1$ , gyldig for luft til luft. Effektiv brennvidde $f=-1/C=10$ cm. For et fjernt objekt er $\alpha_1=0$ , så $y_2=Ay_1$ og $\alpha_2=Cy_1$ ; høyden blir null i avstand $-A/C=5$ cm bak utgangsplanet.

Svar

\det M=1

f=10

cm, skjermen 5 cm bak utgangsplanet

Strålen som vektor

Fortegnskonvensjonen

Grafisk strålegang med linjal

Positiv (samlende) linse

Negativ (spredende) linse

Speil

De fem byggematrisene

1 · Translasjon, avstand d

2 · Brytning i plan flate, n1​→n2​

3 · Brytning i sfærisk flate, radius R

4 · Tynn linse, brennvidde f

5 · Sfærisk speil, radius R

Bygg systemmatrisen

Les av de fire tallene

Flere regneoppgaver

Effektiv brennvidde mot bakre brennavstand

1 · Translasjon, avstand $d$

2 · Brytning i plan flate, $n_{1} \to n_{2}$

3 · Brytning i sfærisk flate, radius $R$

4 · Tynn linse, brennvidde $f$

5 · Sfærisk speil, radius $R$