Koherens, Michelson-interferometer & tynne filmer

Interferensregningen antar at bølgene kan interferere; denne modulen spør når de faktisk kan. Svaret heter koherens og kommer i to retninger: langs strålen, der spektralbredden setter grensen, og på tvers, der kildens utstrekning gjør det. Målet er å kunne anslå koherenslengdene for idealiserte situasjoner, og det er den ferdigheten modulen bygger.

Temporal koherens

En kilde med spektralbredde $\Delta\lambda$ sender ikke én uendelig sinusbølge, men bølgetog med begrenset lengde: komponentene kommer ut av takt etter en tid, og lengden på toget er koherenslengden

Tallene er verdt å ha i fingrene. En LED med $\lambda_0=550$ nm og $\Delta\lambda=100$ nm har $l_c=550^2/100$ nm $\approx3$ µm. Hele det synlige spekteret (400–700 nm) gir rundt 1 µm, og det er derfor hvitt lys bare interfererer for bitte små veiforskjeller. En HeNe-laser med $\Delta f\sim1$ GHz har $l_c=c/\Delta f\approx30$ cm.

Det stringente språket for dette er koherensfunksjonen: for en kilde med spektraltetthet $W(\omega)$ er $\Gamma(\tau)$ Fourier-transformen av spekteret, og koherensgraden $\gamma(\tau)=\Gamma(\tau)/\Gamma(0)$ er den normerte versjonen. Synligheten i et tostråleoppsett med tidsforsinkelse $\tau$ mellom armene er nettopp $V=|\gamma(\tau)|$: et smalt spektrum gir en bred $\gamma$ og striper langt utover, et bredt spektrum gir en smal $\gamma$. For et rektangulært spektrum blir omhyllingen en sinc-funksjon. Regningen forbi dette hører til fordypning; estimatene over er det som brukes.

Michelson-interferometeret

En stråledeler sender lyset mot to speil og legger de returnerte feltene sammen igjen. Veiforskjellen mellom armene er $\Delta p=2d\cos\theta$, der $d$ er armlengdeforskjellen, og på aksen er intensiteten $I=4I_0\cos^2(\delta/2)$ med $\delta=2\pi\Delta p/\lambda$. Flyttes ett speil $\Delta d$, endres veien med det dobbelte, og $\Delta m=2\Delta d/\lambda$ striper passerer. Det gjør instrumentet til en linjal med nanometeroppløsning: tell striper, og du har målt en forskyvning eller en bølgelengde.

Instrumentet måler også koherens. Øk armforskjellen til stripene vaskes ut, og veiforskjellen der $V$ går mot null er koherenslengden, som igjen gir spektralbredden. Michelson og Morley lette etter eteren med et slikt interferometer, og fant den ikke. Fabry–Perot, flerstråleinterferometeret med to høyreflekterende speil, er ikke pensum her.

Spatial koherens

Se på et Young-oppsett belyst av en utstrakt kilde. Hvert punkt på kilden lager sitt eget stripemønster, litt forskjøvet fra naboens, og når forskyvningene spenner en halv stripeavstand, er summen grå. Det skjer når kilden spenner en for stor vinkel $\theta$ sett fra spaltene, og estimatet er $l_s\approx\lambda/(2\theta)$ for avstanden mellom to punkter som ennå kan interferere. Den formelle regningen integrerer over kilden og gir koherensfunksjonen som Fourier-transformen av kildens intensitetsfordeling (van Cittert–Zernike-teoremet); for en sirkulær kilde blir resultatet

Faktoren 1,22 kommer igjen i diffraksjonen fra en sirkulær apertur; det er samme matematikk. Som estimat: Sola spenner $\theta\approx9$ mrad, så sollys er spatialt koherent over bare $1{,}22\cdot550\ \text{nm}/0{,}009\approx75$ µm. Snus formelen, blir den et måleinstrument: Michelson og Pease fant i 1920 vinkeldiameteren til Betelgeuse ved å øke spalteavstanden på et teleskop til stripene forsvant.

Tynne filmer

Lys som reflekteres fra over- og undersiden av en tynn film interfererer. Den optiske veiforskjellen mellom de to refleksene er

og i tillegg kommer fasehopp: refleksjon mot et tettere medium gir et ekstra halvbølgeskift. På et antirefleksbelegg (film på glass med $n_0<n_f<n_s$) skifter begge refleksene likt, så betingelsen for destruktiv refleksjon ved normalt innfall er ren kvartbølge: $2n_ft=\lambda/2$. Perfekt utslukking krever i tillegg like sterke reflekser, og det gir den ideelle beleggindeksen $n_f=\sqrt{n_0n_s}$; MgF₂ med $n=1{,}38$ er det praktiske kompromisset på glass. Samme veiforskjellsregning forklarer Newtons ringer rundt kontaktpunktet mellom en linse og en plate, og fargespillet i såpebobler.