Koherens, Michelson-interferometer & tynne filmer

Kjernen i temaet

Interferens krever koherens. Temporal koherens (langs strålen) settes av spektralbredden; spatial koherens (på tvers) av kildens utstrekning. En LED har kort koherenslengde, en laser lang.

Koherenslengder

Temporal: $l_c=\dfrac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}=\dfrac{c}{\Delta f}$ . Smalt spektrum ⇒ lang koherens. Spatial: $l_s<\dfrac{1{,}22\lambda}{\theta}$ for en kilde som spenner vinkelen $\theta$ .

Temporal koherens

Interferensevne langs strålen (i tid).
Settes av kildens spektralbredde: $l_c=\dfrac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}=\dfrac{c}{\Delta f}$ .
Smalt spektrum (laser) ⇒ lang $l_c$ ; bredt (LED) ⇒ kort.
Begrenser veiforskjellen i en Michelson før stripene vaskes ut.

Spatial koherens

Interferensevne på tvers av strålen.
Settes av kildens vinkelutstrekning $\theta$ : $l_s<\dfrac{1{,}22\lambda}{\theta}$ .
Liten/fjern kilde ⇒ stor $l_s$ ; utstrakt kilde ⇒ liten.
Avgjør om Youngs to spalter ser «samme» bølgefront.

Michelson

Stråledeler sender lys mot to speil; ved rekombinasjon: $I=4I_0\cos^2(\delta/2)$ med $\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta p$ og veiforskjell $\Delta p=2d\cos\theta$ . Flytter du ett speil $\Delta d$ , teller du $\Delta m=2\Delta d/\lambda$ striper.

Tynne filmer

Optisk veiforskjell $\Delta=2n_f t\cos\theta_t$ . Husk evt. ekstra $\lambda/2$ ( $\Delta_r$ ) fra refleksjon ved hardere medium. Antirefleks: destruktiv refleksjon ⇒ $2n_f t=\lambda/2$ (kvartbølgelag) ved normal innfall.

\displaystyle l_c=\dfrac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}=\dfrac{c}{\Delta f}

Temporal koherenslengde.

\Delta\lambda

= kildens spektralbredde.

\displaystyle l_s<\dfrac{1{,}22\lambda}{\theta}

Spatial koherenslengde (sirkulær apertur).

\theta

= kildens vinkelutstrekning.

\displaystyle I=4I_0\cos^2(\delta/2),\ \Delta p=2d\cos\theta

Michelson-interferometer.

\delta

= faseforskjell mellom armene,

\Delta p

= veiforskjell,

d

= speilforskyvning.

\displaystyle V=\dfrac{I_\text{max}-I_\text{min}}{I_\text{max}+I_\text{min}}

Synlighet (visibility).

\displaystyle \Delta=2n_f t\cos\theta_t

Tynnfilm: optisk veiforskjell.

n_f

= filmens brytningsindeks,

t

= filmtykkelse,

\theta_t

= brytningsvinkel i filmen.

Regneeksempel AR-belegg ved vinkel

MgF₂ ( $n_f=1{,}38$ ) på glass er antirefleks ved 580 nm ved normal innfall. Hvilken bølgelengde slukkes minimalt ved 45° innfall?

Vis løsning

Tykkelse.

Normalt: $2n_f t=\lambda/2\Rightarrow t=\dfrac{580}{4\cdot1{,}38}=105{,}1$ nm.

Vinkel i film.

Snell: $\sin\theta_t=\sin45^\circ/1{,}38=0{,}512\Rightarrow\theta_t=30{,}8^\circ,\ \cos\theta_t=0{,}859$ .

Ny bølgelengde.

$\lambda'=4n_f t\cos\theta_t=4(1{,}38)(105{,}1)(0{,}859)\approx 498$ nm.

Svar

\lambda' \approx 498

Sjekk deg selv

Mer forklaring — koherens setter kontrasten

Interferensmønsterets synlighet faller når veiforskjellen blir større enn koherenslengden. Derfor kan en Michelson brukes til å måle spektralbredde: du flytter speilet til stripene vaskes ut.

I Michelson dobles speilforskyvningen som optisk veiforskjell, fordi lyset går fram og tilbake i armen.

Regneeksempel telle striper i Michelson

I et Michelson-interferometer brukes $\lambda=633\text{ nm}$ . Ett speil flyttes $0{,}50\text{ mm}$ . Hvor mange lyse striper passerer?

Vis løsning

Dobbel vei.

Veiforskjellen endres med $2\Delta d=1{,}00\text{ mm}$ .

Antall striper.

$\Delta m=2\Delta d/\lambda=(1{,}00\times10^{-3})/(633\times10^{-9})=1{,}58\times10^3$ .