Avbildning, Snell, Fermat & tynne linser

Kjernen i temaet

Geometrisk optikk modellerer lys som rette stråler. Alt følger av to prinsipper: lys tar den vei som gir stasjonær (oftest minste) optisk veilengde (Fermat), og hvert punkt på en bølgefront er kilde til nye kulebølger (Huygens).

Snells lov og refleksjon

Ved en flate mellom medier $n_i$ og $n_t$ : $n_i\sin\theta_i = n_t\sin\theta_t$ . Refleksjonsvinkel = innfallsvinkel. Begge følger direkte av Fermat.

Fortegnskonvensjon (Pedrotti) — kritisk!

Lys går venstre → høyre. Objekt-avstand $s_o>0$ til venstre for linsen.
Bilde-avstand $s_i>0$ (reelt) til høyre; $s_i<0$ (virtuelt) til venstre.
$R>0$ hvis krumningssenteret ligger til høyre for flaten.
$f>0$ for konvergerende (positiv) linse.

Linsemakerformelen

Forteller hvilken brennvidde en linseform gir ( $\dfrac{1}{f}=\dfrac{n_2-n_1}{n_1}\!\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)$ ). En positiv (samlende) linse i luft er tykkere på midten; én konveks side mot objektet gir $R_1>0,\ R_2<0$ .

\displaystyle n_i\sin\theta_i=n_t\sin\theta_t

Snells lov. Vinkler måles fra normalen; indeks i = innfallsmedium, t = transmittert medium.

\displaystyle \dfrac{1}{s_o}+\dfrac{1}{s_i}=\dfrac{1}{f}

Tynnlinse-/avbildningslikningen.

s_o

= objektavstand,

s_i

= bildeavstand,

f

= brennvidde.

\displaystyle m=-\dfrac{s_i}{s_o}

Lateral forstørrelse. m = invertert.

\displaystyle \dfrac{1}{f}=\dfrac{n_2-n_1}{n_1}\!\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)

Linsemakerformelen (linse

n_2

i medium

n_1

R_1,R_2

= krumningsradier for fram- og bakflate (med fortegn).

\displaystyle f=\mp\dfrac{R}{2}

Sfærisk speil (konkavt

f>0

Regneeksempel linsemaker

En tynn linse i luft skal ha $f=12{,}0$ cm av et materiale med $n=1{,}40$ . En plan-konveks linse har den buede siden mot objektet med $|R|=4{,}8$ cm og flat bakside. Stemmer det?

Vis løsning

Fortegn.

Konveks framside: $R_1=+4{,}8$ cm. Flat bakside: $R_2=\infty \Rightarrow 1/R_2=0$ .

Innsetting.

$\dfrac1f=(1{,}40-1)\left(\dfrac{1}{4{,}8}-0\right)=0{,}40\cdot 0{,}2083=0{,}0833\,\text{cm}^{-1}$ .

$f = 1/0{,}0833 = 12{,}0$ cm. ✓

Svar

f = 12{,}0

cm — gyldig positiv linse

Dra objektavstanden og brennvidden. Se hvordan bildet flytter seg, og når det skifter fra reelt/invertert til virtuelt/opprett.

Interaktivt: tynnlinse-avbildning

Interaktiv simulering krever JavaScript.

Sjekk deg selv

Mer forklaring — fortegn før tall

I linseoppgaver er feil fortegn vanligere enn feil algebra. Start derfor med en skisse: hvor er objektet, hvor forventer du bildet, og er linsen samlende eller spredende?

For en positiv linse med objekt utenfor brennvidden forventer du et reelt bilde på motsatt side: $s_i>0$ og $m<0$ (sett inn i $\dfrac{1}{s_o}+\dfrac{1}{s_i}=\dfrac{1}{f}$ ). Hvis regningen gir noe annet, bør du kontrollere fortegnene før du går videre.

Reelt bilde

Strålene møtes virkelig — kan fanges på en skjerm.
Ligger på utgangssiden av en samlelinse: $s_i>0$ .
Alltid invertert ( $m<0$ ).
Eksempel: projektor, kamerasensor, øyets netthinne.

Virtuelt bilde

Bare strålenes forlengelser møtes — ingen skjerm fanger det.
Ligger på objektsiden: $s_i<0$ .
Alltid opprett ( $m>0$ ).
Eksempel: forstørrelsesglass, spredelinse, planspeil.

Regneeksempel bildeplassering og forstørrelse

Et objekt står $30\text{ cm}$ foran en positiv linse med $f=10\text{ cm}$ . Finn bildeavstand, forstørrelse og bildetype.

Vis løsning

Linseformel.

$1/s_i=1/f-1/s_o=1/10-1/30=2/30=1/15$ .

Tolkning.

$s_i=15\text{ cm}>0$ , så bildet er reelt og ligger på andre siden av linsen. $m=-s_i/s_o=-15/30=-0{,}50$ , altså invertert og halv størrelse.