Avbildning, Snell, Fermat & tynne linser

Geometrisk optikk modellerer lys som rette stråler, og hele blokken hviler på to prinsipper: Fermats prinsipp om stasjonær optisk veilengde og Huygens’ bølgefrontkonstruksjon. Fra dem følger Snells lov, brytning i krumme flater og til slutt tynnlinselikningen. Modulen bygger den kjeden, og legger fortegnskonvensjonen som resten av geometrisk optikk regner med.

Avbildningskravet

Et optisk system avbilder punktet $P$ i punktet $P'$ når alle strålene som forlater $P$ og går gjennom systemet, samles i $P'$. Kravet kan uttrykkes med optisk veilengde: alle veiene fra $P$ til $P'$ må ha samme OPL, så bidragene kommer fram i takt. Flaten som får dette til eksakt for ett punktpar, det kartesiske ovalet, er kjent siden Descartes, men den er upraktisk å slipe og avbilder bare det ene punktparet perfekt.

Utveien er den paraksiale tilnærmingen: for stråler nær aksen settes $\sin\alpha\approx\tan\alpha\approx\alpha$ og $\cos\alpha\approx1$. Allerede ved $10^\circ$ er feilene bare på prosentnivå, og med den blir sfæriske flater gode nok. Tilnærmingen brukes uten videre i resten av faget.

Fermat, Huygens og Snells lov

Huygens kommer til det samme fra bølgesiden: hvert punkt på en bølgefront er kilde til nye kulebølger, og den nye fronten er innhyllingen av dem. Når fronten passerer inn i et medium der farten er $c/n$, vrir den seg, og vridningen er nøyaktig Snells lov. De to bildene, korteste tid og bølgefront-vridning, er samme fysikk.

Går lyset fra et tett medium $n_1$ mot et tynnere $n_2$, finnes en innfallsvinkel der $\theta_t=90^\circ$, den kritiske vinkelen $\sin\theta_c=n_2/n_1$. Over den reflekteres alt lyset internt (total intern refleksjon).

Brytning i én sfærisk flate

Kreves det at OPL fra objektpunkt til bildepunkt er stasjonær gjennom en sfærisk grenseflate med krumningsradius $R$, faller den paraksiale avbildningslikningen ut:

Grensetilfellet $R\to\infty$ er en planflate, og da blir $s_i=-\dfrac{n_2}{n_1}s_o$: bildet er virtuelt og ligger på objektsiden. Det er derfor et basseng ser grunnere ut enn det er. Sett ovenfra med $n_1=1{,}33$ og $n_2=1$ ser bunnen ut til å ligge på $3/4$ av den virkelige dybden.

Likningen for én flate er arbeidshesten: en linse er to slike flater rett etter hverandre, og hele avbildningskjeden i en linse følger av å bruke den to ganger.

Tynnlinsen

Brukes flatelikningen på begge sidene av en tynn linse (tykkelsen neglisjeres), kommer to ekvivalente former ut. Newtons form kommer faktisk først i utledningen med strålekonstruksjon: mål avstandene fra brennpunktene i stedet for fra linsen, $x_o=s_o-f$ og $x_i=s_i-f$, og likningen er

Litt algebra oversetter til Gauss-formen, den du oftest bruker:

Brytningsstyrken $P=1/f$ måles i dioptrier når $f$ er i meter; briller på +2 dioptrier er en samlelinse med $f=50$ cm.

Fortegn før tall

I linseoppgaver er feil fortegn vanligere enn feil algebra. Konvensjonen (Pedrotti) er:

• Lys går fra venstre mot høyre, og objektet står til venstre: $s_o>0$.
• $s_i>0$ betyr bilde til høyre for linsen (reelt); $s_i<0$ betyr bilde på objektsiden (virtuelt).
• $R>0$ når krumningssenteret ligger til høyre for flaten.
• $f>0$ for en samlelinse, $f<0$ for en spredelinse.

Start hver oppgave med en skisse som viser hvor objektet står, om linsen samler og hvor bildet bør ligge. Gir regningen noe annet enn skissen, sjekk fortegnene først.

Dra i objektavstanden og brennvidden, og se når bildet skifter fra reelt og invertert til virtuelt og opprett.

Linsemakerformelen

Formen på linsen bestemmer brennvidden. For en tynn linse av materiale $n_2$ i et medium $n_1$ er

En bikonveks linse i luft har $R_1>0$ og $R_2<0$, så parentesen er positiv og $f>0$. Legg merke til at formelen deler på $n_1$: den samme linsen blir svakere i vann enn i luft, fordi indekskontrasten $n_2-n_1$ krymper.

Sfærisk speil

Et sfærisk speil følger samme avbildningslikning som tynnlinsen, $1/s_o+1/s_i=1/f$, med brennvidde $|f|=R/2$.

Flere linser

Systemer bygges ved å kjede: bildet fra første linse er objekt for neste. Ligger bildet bak neste linse, blir objektavstanden negativ, og konvensjonen over håndterer det automatisk. Totalforstørrelsen er produktet $M=m_1m_2m_3\cdots$, med fortegnene i behold, så to inversjoner gir et opprett bilde. Mer systematikk for slike kjeder kommer med matrisemetoden.