Innfallsplanet bestemmes av …

innkommende stråle og normalen

Fresnels likninger, Brewster & polarisasjon

Geometrisk optikk sier hvor strålene går, men ikke hvor mye lys som følger dem. Det svarer bølgeoptikken på: kravet om at felt skal henge sammen over en grenseflate gir både Snells lov på nytt og, som ny gevinst, Fresnels likninger for hvor mye som reflekteres og transmitteres, for hver polarisasjonskomponent.

Fasetilpasning ved grenseflaten

Send en planbølge mot en flate. Feltene på hver side må passe sammen i hvert punkt av flaten til enhver tid, og det er bare mulig hvis de tre bølgene, innfallende, reflektert og transmittert, svinger i takt langs flaten: $\vec k\cdot\vec r=\vec k_r\cdot\vec r=\vec k_t\cdot\vec r$ der. Av det følger tre ting uten videre regning: de tre strålene ligger i samme plan (innfallsplanet), refleksjonsvinkelen er lik innfallsvinkelen, og $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ . Snells lov er altså ikke en egen antakelse i bølgebildet; den er fasetilpasning.

Hvor mye av feltet som går hver vei, krever grensebetingelsene i detalj: tangentialkomponentene av $\vec E$ og $\vec B$ er kontinuerlige. Svaret avhenger av polarisasjonen, og kurset deler den i TE, der $\vec E$ står vinkelrett på innfallsplanet, og TM, der $\vec E$ ligger i det. Andre kilder kaller de samme komponentene s og p.

Fresnels likninger

\displaystyle r_{TE}=\dfrac{\cos\theta-\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}{\cos\theta+\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}

TE-refleksjonskoeffisient;

n=n_2/n_1

\theta

er innfallsvinkelen.

\displaystyle r_{TM}=\dfrac{-n^2\cos\theta+\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}{n^2\cos\theta+\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}

TM-refleksjonskoeffisient, med kursets fortegnskonvensjon.

Koeffisientene er felt-forhold. Energien bruker kvadratene:

\displaystyle R=r^2,\quad T=n\dfrac{\cos\theta_t}{\cos\theta}\,t^2

Reflektans og transmittans; energibevaring gir

R+T=1

Ved normal innfall kollapser begge til samme tall, $R=\left(\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2$ , som for luft mot glass er omtrent 4 prosent. Det er refleksen du ser i et vindu.

TE (s-polarisert)

$\vec E$ står vinkelrett på innfallsplanet.
$|r_{TE}|$ vokser monotont med vinkelen; ingen nullpunkt.
Eneste komponent som reflekteres ved Brewster-vinkelen.

TM (p-polarisert)

$\vec E$ ligger i innfallsplanet.
$r_{TM}$ krysser null ved Brewster-vinkelen.
Transmitteres fullstendig ved $\theta_p$ ; derav polariserende refleksjon.

Brewster, ekstern og intern refleksjon

For lys fra luft mot glass ( $n_2/n_1=1{,}5$ ) er $\theta_p=56{,}3^\circ$ . Det er prinsippet bak polariserende solbriller: gjenskinn fra vann og asfalt kommer inn nær Brewster og er derfor nesten rent TE, som brillene sperrer.

Innenfra glasset mot luft finnes to spesielle vinkler. Brewster-vinkelen ligger nå på $\arctan(1/1{,}5)=33{,}7^\circ$ , og ved den kritiske vinkelen $\theta_c=\arcsin(1/1{,}5)=41{,}8^\circ$ når transmisjonsvinkelen $90^\circ$ . Over $\theta_c$ er $|r|=1$ for begge komponentene: total intern refleksjon, som er tema i neste del av bølgeoptikken.

Endre forholdet $n_2/n_1$ i figuren og se Brewster-vinkelen der TM-kurven krysser null, og, for internt forhold under 1, den kritiske vinkelen der begge kurvene går til 1.

Interaktivt: Fresnel-reflektans vs. vinkel

Regneeksempel Brewster

Lys går fra luft ( $n_1=1{,}0$ ) mot glass ( $n_2=1{,}52$ ). Hva er Brewster-vinkelen, og hva skjer med lys polarisert i $45^\circ$ (like mye TE og TM) ved denne vinkelen?

Vis løsning Skjul løsning

$\theta_p=\arctan(1{,}52)\approx56{,}7^\circ$ .

Ved $\theta_p$ er $r_{TM}=0$ : TM-halvparten transmitteres i sin helhet, mens en del av TE-halvparten reflekteres. Den reflekterte strålen er derfor fullstendig lineært polarisert vinkelrett på innfallsplanet.

Svar

\theta_p\approx56{,}7^\circ

; reflektert lys er rent TE

Regneeksempel stråle mot grenseflaten innenfra

En stråle går inne i glass ( $n=1{,}50$ ) mot grenseflaten til luft. Beskriv hva som skjer ved innfallsvinklene $33{,}7^\circ$ , $40^\circ$ og $45^\circ$ .

Vis løsning Skjul løsning

De to referansevinklene er Brewster, $\arctan(1/1{,}5)=33{,}7^\circ$ , og kritisk vinkel, $\arcsin(1/1{,}5)=41{,}8^\circ$ .

Ved $33{,}7^\circ$ er $r_{TM}=0$ : alt TM-lys transmitteres, og det lille som reflekteres er rent TE. Ved $40^\circ$ er strålen under kritisk vinkel, så den delvis transmitteres (sterkt brutt, nær $90^\circ$ ) og delvis reflekteres. Ved $45^\circ$ er den over kritisk vinkel: total intern refleksjon, alt lyset blir i glasset.

Svar

Brewster ved

33{,}7^\circ

, delvis transmisjon ved

40^\circ

, total intern refleksjon ved

45^\circ

Materialets respons: dispersjon

Brytningsindeksen avhenger av bølgelengden, og Lorentz-modellen forklarer hvorfor med klassisk mekanikk: et bundet elektron er en dempet, drevet harmonisk oscillator med egenfrekvens $\omega_0$ , drevet av lysets felt. Løses bevegelseslikningen og summeres dipolbidragene, kommer en kompleks brytningsindeks ut:

\displaystyle \tilde n^2(\omega)=1+\dfrac{e^2N}{\varepsilon_0 m_e}\cdot\dfrac{1}{\omega_0^2-\omega^2-i\omega\gamma}

Lorentz-modellen.

N

= oscillatortetthet,

\gamma

= dempning,

\omega_0

= resonansfrekvens.

Realdelen $n_R$ er den vanlige indeksen som styrer fasefarten. Imaginærdelen $n_I$ gir dempning: feltet faller som $e^{-2\pi n_I z/\lambda}$ innover i mediet, så $n_I$ er stor bare nær resonansene, der mediet absorberer. Mellom resonansene vokser $n_R$ med frekvensen. Det er normal dispersjon: blått bryter mer enn rødt, og derfor sorterer prismer og regndråper farger.

Et ekte glass har flere resonanser med ulik styrke, og summen av dem gir de praktiske glassformlene av Sellmeier-typen, $n(\lambda)=A+B/\lambda^2+C/\lambda^4+\cdots$ , som produsentene oppgir koeffisienter til. En stringent utledning hører hjemme i andre emner; her er det resultatet og tolkningen av $n_R$ og $n_I$ som teller.