Fresnels likninger, Brewster & polarisering

Kjernen i temaet

Når lys treffer en flate, deles det i en reflektert og en transmittert del. Hvor mye, og hvilken polarisering, gis av Fresnels likninger. Disse skiller mellom TE (s, E vinkelrett innfallsplanet) og TM (p, E i innfallsplanet).

Brewster-vinkelen

Ved $\theta_p=\arctan(n_2/n_1)$ er $r_{TM}=0$ : TM-komponenten reflekteres ikke. Da er alt reflektert lys lineært polarisert (kun TE). Dette er prinsippet bak polariserte solbriller og Brewster-vinduer i lasere.

Tolkning av Fresnel-kurvene

Reflektansen ved normal innfall: $R=\left(\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2$ (≈4 % for glass/luft).
TM-kurven krysser null ved Brewster; TE øker monotont.
Internt (fra tett til tynt medium) over kritisk vinkel: $|r|=1$ for begge — total intern refleksjon.

\displaystyle r_{TE}=\dfrac{\cos\theta-\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}{\cos\theta+\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}

TE-refleksjonskoeff. (s-pol:

\vec E

vinkelrett på innfallsplanet).

n=n_2/n_1

\displaystyle r_{TM}=\dfrac{-n^2\cos\theta+\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}{n^2\cos\theta+\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}

TM-refleksjonskoeff. (p-pol:

\vec E

i innfallsplanet).

\displaystyle R=r^2,\quad T=n\dfrac{\cos\theta_t}{\cos\theta}\,t^2

Energi-reflektans og -transmittans,

R+T=1

\displaystyle \theta_p=\arctan\!\dfrac{n_2}{n_1}

Brewster-vinkel (reflektert lys lineært polarisert).

Regneeksempel Brewster

Lys går fra luft ( $n_1=1{,}0$ ) mot glass ( $n_2=1{,}52$ ). Hva er Brewster-vinkelen, og hva skjer med 45°-polarisert lys ved denne vinkelen?

Vis løsning

$\theta_p=\arctan(1{,}52/1{,}0)=\arctan(1{,}52)\approx 56{,}7^\circ$ .

Ved $\theta_p$ er $r_{TM}=0$ . Den reflekterte strålen inneholder bare TE-komponenten ⇒ fullstendig lineært polarisert (vinkelrett innfallsplanet). TM-delen transmitteres fullt.

Svar

\theta_p \approx 56{,}7^\circ

; reflektert lys er lineært polarisert (TE)

Endre forholdet $n_2/n_1$ . Se Brewster-vinkelen (TM→0) og — ved internt forhold <1 — den kritiske vinkelen der begge går til 1.

Interaktivt: Fresnel-reflektans vs. vinkel

Interaktiv simulering krever JavaScript.

Sjekk deg selv

Mer forklaring — TE/TM uten pugging

TE og TM er definert relativt til innfallsplanet, ikke relativt til bordet eller skjermen. Tegn innfallsplanet først: det spennes ut av innkommende stråle og normalen.

TE betyr at E-feltet står vinkelrett på dette planet. TM betyr at E-feltet ligger i planet. Ved Brewster ( $\theta_p=\arctan\!\dfrac{n_2}{n_1}$ ) forsvinner TM-refleksjonen, derfor blir reflektert lys rent TE.

TE (s-polarisert)

$\vec E$ står vinkelrett på innfallsplanet.
$r_{TE}$ øker monotont med vinkelen — ingen nullpunkt.
Er den eneste komponenten som overlever refleksjon ved Brewster.

TM (p-polarisert)

$\vec E$ ligger i innfallsplanet.
$r_{TM}$ krysser null ved Brewster-vinkelen $\theta_p$ .
Transmitteres fullstendig ved $\theta_p$ — derav polariserende refleksjon.

Regneeksempel normalrefleksjon ved glass

Lys går normalt fra luft til glass med $n=1{,}50$ . Finn reflektansen ved flaten.

Vis løsning

Normal innfall.

$R=\left((n_1-n_2)/(n_1+n_2)\right)^2$ .

Innsetting.

$R=((1{,}00-1{,}50)/(1{,}00+1{,}50))^2=(-0{,}20)^2=0{,}040$ .