I et medium med n=1{,}5 er lysets fasefart …

c/1{,}5\approx2{,}0\times10^8 m/s

E_x og E_y har like amplituder og relativ fase \varepsilon=\pi/2. Tilstanden er …

elliptisk med akser utenfor x,y

Maxwells likninger & EM-bølger

Her bytter faget språk: lys er ikke lenger stråler, men et elektromagnetisk felt som løser Maxwells likninger. Selve utledningene er ikke pensum; strukturen er det: hvordan de fire likningene gir en bølgelikning, hva planbølgeløsningen sier og hvordan de to feltkomponentene på tvers av strålen koder polarisasjonstilstanden.

Fra Maxwell til bølgelikningen

Likningene bærer navnene til dem som fant bitene: Coulomb og Gauss for ladningens felt, Ørsted og Ampère for strømmens magnetfelt, Faraday for induksjonen. Maxwell samlet dem, la til forskyvningsstrømmen som fikk Ampères lov til å stemme for tidsvarierende felt, og oppdaget at settet har bølgeløsninger med fart $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ , som var lysfarten. Hertz påviste bølgene i laboratoriet tjue år senere.

I et lineært, transparent medium svarer materialet med en polarisasjon som skalerer feltet, $\vec D=\varepsilon_0(1+\chi_e)\vec E=\varepsilon_0n^2\vec E$ , og hele virkningen på bølgen er at brytningsindeksen $n$ dukker opp i bølgelikningen:

\displaystyle \nabla^2\vec E=\dfrac{n^2}{c^2}\dfrac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}

Bølgelikningen for EM-felt i et transparent medium; farten er

v=c/n

Planbølgen

Bølgelikningen løses med separasjon av variable, og den enkleste løsningen er planbølgen

\displaystyle \vec E=\vec E_0\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t)

Planbølge, med

k=2\pi/\lambda

\omega=2\pi f

\omega=kv

Uttrykket gir alt på én linje: amplituden $E_0$ , retningen fra $\vec k$ , bølgelengden fra $k=2\pi/\lambda$ , og bevegelsesretningen fra fortegnet, for $\cos(kz-\omega t)$ må $z$ øke når $t$ øker, så bølgen går mot $+z$ . Punktkilder sender i stedet kulebølger med amplitude som faller som $1/r$ ; de trengs når diffraksjonen kommer.

Transversaliteten følger rett av Gauss’ lov for en planbølge, og koblingen mellom feltene av Faradays lov. Energistrømmen bærer Poyntings navn:

\displaystyle \vec S=c^2\varepsilon_0(\vec E\times\vec B)

Poynting-vektor: energifluks, retning langs

\vec k

\displaystyle I=\langle S\rangle=\tfrac12 c\,n\,\varepsilon_0 E_0^2

Intensitet (tidsmidlet irradians).

Intensiteten går som amplituden i andre potens: dobler du $E_0$ , firedobles $I$ . Den koblingen brukes hver gang et felt skal regnes om til noe målbart.

Regneeksempel les bølgeuttrykket

$\vec E = 30\cos(1{,}26\times10^{7}\,z - \omega t)\,\hat x$ V/m i vakuum. Finn bølgelengden og beskriv $\vec B$ .

Vis løsning Skjul løsning

Bølgetallet er $k=1{,}26\times10^{7}$ m⁻¹, så $\lambda=2\pi/k\approx5{,}0\times10^{-7}$ m $=500$ nm.

Bølgen går mot $+\hat z$ og $\vec E$ ligger langs $\hat x$ . For at $\vec E\times\vec B$ skal peke langs $+\hat z$ , må $\vec B$ ligge langs $\hat y$ , med amplitude $B_0=E_0/c=30/(3{,}0\times10^8)=1{,}0\times10^{-7}$ T.

Svar

\lambda\approx500

nm;

\vec B\parallel\hat y

med

B_0\approx1{,}0\times10^{-7}

Polarisasjonstilstander

Transversaliteten etterlater to frie komponenter på tvers av $\vec k$ , og forholdet mellom dem er polarisasjonstilstanden. Skriv

$E_x=E_{0x}\cos(kz-\omega t),\qquad E_y=E_{0y}\cos(kz-\omega t+\varepsilon)$

med relativ fase $\varepsilon$ . I et fast plan tegner feltvektoren da en kurve, og kurven klassifiserer tilstanden:

Klassifisering av polarisasjonstilstand fra amplituder og relativ fase $\varepsilon$ .
Betingelse	Kurve	Tilstand
$\varepsilon=0$ eller $\pi$	rett linje i vinkel $\tan\theta=\pm E_{0y}/E_{0x}$	lineær
$\varepsilon=\pm\pi/2$ og $E_{0x}=E_{0y}$	sirkel	sirkulær
alt annet	ellipse	elliptisk

Lineær og sirkulær er grensetilfellene; den generelle tilstanden er en ellipse, med hovedakse i vinkelen gitt av $\tan2\alpha=\dfrac{2E_{0x}E_{0y}\cos\varepsilon}{E_{0x}^2-E_{0y}^2}$ . De to sirkulære tilstandene er venstre- og høyredreid; hvilken som er hvilken, avhenger av om du ser langs eller mot utbredelsesretningen, så hold deg til definisjonen slik den gis i oppgaven. Fotonets spinn $\pm\hbar$ er kvantesiden av akkurat disse to tilstandene.

Regneeksempel klassifiser tilstanden

Klassifiser polarisasjonen i de tre tilfellene (a) $E_{0x}=E_{0y}=E_0$ , $\varepsilon=0$ ; (b) $E_{0x}=E_{0y}=E_0$ , $\varepsilon=\pi/2$ ; (c) $E_{0x}=2E_{0y}$ , $\varepsilon=\pi/2$ .

Vis løsning Skjul løsning

(a) Null faseforskjell gir en rett linje med $\tan\theta=E_{0y}/E_{0x}=1$ : lineær polarisasjon i $45^\circ$ .

(b) Kvartperiodes faseforskjell og like amplituder: når $E_x$ er på topp, er $E_y$ null, og omvendt. Feltvektoren har konstant lengde og roterer: sirkulær.

(c) Samme faseforskjell, men ulike amplituder: kurven er en ellipse med hovedaksene langs $x$ og $y$ , dobbelt så lang i $x$ : elliptisk.

Svar

(a) lineær i

45^\circ

, (b) sirkulær, (c) elliptisk