Maxwells likninger & EM-bølger

Kjernen i temaet

Lys er en elektromagnetisk bølge. Maxwells fire likninger kombineres til en bølgelikning der lyshastigheten i et medium er $v=c/n$ . Detaljene i utledningen er ikke pensum, men du må kjenne strukturen og de viktige grunnleggerne (Maxwell, Faraday, Hertz).

Plan-bølge-løsningen

$\vec E = \vec E_0\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t)$ løser bølgelikningen når $\omega=kv$ . Her er $k=2\pi/\lambda$ bølgetallet og $\omega=2\pi f$ vinkelfrekvensen.

Geometri (ofte spurt om)

$\vec E$ , $\vec B$ og utbredelsesretningen $\vec k$ er innbyrdes vinkelrette, og $\vec E\times\vec B$ peker langs $\vec k$ .
Amplitudene henger sammen: $|\vec B| = |\vec E|/v$ (i vakuum $B_0=E_0/c$ ).
Bølgelengden leses rett av fra $k$ : $\lambda = 2\pi/k$ .

\displaystyle \nabla^2\vec E=\dfrac{n^2}{c^2}\dfrac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}

Bølgelikningen for EM-felt.

\displaystyle \vec E=\vec E_0\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t)

Plan-bølge, med

\omega=kv,\ k=2\pi/\lambda

. må pugges

\displaystyle B_0=E_0/v

Forhold mellom amplitudene. må pugges

\displaystyle \vec S=c^2\varepsilon_0(\vec E\times\vec B)

Poynting-vektor (energifluks).

\displaystyle I=\langle S\rangle=\tfrac12 c\,n\,\varepsilon_0 E_0^2

Intensitet (tidsmidlet).

Regneeksempel

$\vec E = 30\cos(1{,}26\times10^{7} z - \omega t)\,\hat x$ V/m i vakuum. Finn $\lambda$ og beskriv $\vec B$ .

Vis løsning

Bølgelengde.

$k=1{,}26\times10^{7}\,\text{m}^{-1}\Rightarrow \lambda=2\pi/k\approx 4{,}99\times10^{-7}\text{ m}\approx 500$ nm.

B-felt.

Utbredelse langs $+\hat z$ , $\vec E$ langs $\hat x$ . For at $\vec E\times\vec B \parallel \hat z$ må $\vec B$ ligge langs $\hat y$ . Amplitude $B_0=E_0/c=30/(3\times10^8)=1{,}0\times10^{-7}$ T.

Svar

\lambda \approx 500

nm;

\vec B \parallel \hat y

B_0 \approx 1{,}0\times10^{-7}

Sjekk deg selv

Mer forklaring — les bølgeuttrykket systematisk

Et uttrykk som $E_0\cos(kz-\omega t)$ gir tre ting samtidig: amplituden $E_0$ , utbredelsesretningen fra fortegnet foran $\omega t$ , og bølgelengden fra $k$ .

Husk også at intensiteten går som amplitude i andre potens. Dobler du $E_0$ , firedobles intensiteten.

Regneeksempel intensitet fra feltamplitude

En plan bølge i luft har elektrisk feltamplitude $E_0=100\text{ V/m}$ . Estimer tidsmidlet intensitet.

Vis løsning

Formel.

Bruk $I=\tfrac12 c\varepsilon_0E_0^2$ for luft/vakuum.

Innsetting.

$I=0{,}5(3{,}00\times10^8)(8{,}85\times10^{-12})(100)^2=13{,}3\text{ W/m}^2$ .