Formelsamling

01 Foton & radiometri

$\displaystyle E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$ Foton-energi fra frekvens / bølgelengde. h = Plancks konstant.
$\displaystyle p=\dfrac{E}{c}=\dfrac{h}{\lambda}$ Foton-impuls.
$\displaystyle \lambda f = c,\quad v=\dfrac{pc^2}{E}=c$ Fart i vakuum.
$\displaystyle \Omega = \dfrac{A}{r^2}$ Romvinkel i steradianer. Smal stråle med full divergens $\alpha$ : $\Omega=\pi\alpha^2/4$ .
$\displaystyle I_e=\dfrac{\Phi_e}{\Omega},\quad L_e=\dfrac{\Phi_e}{A\,\Omega},\quad E_e=\dfrac{\Phi_e}{A}$ Strålingsstyrke, radians og irradians. $\Phi_e$ = strålingsfluks (effekt).

02 Geometrisk optikk: Snell & linser

$\displaystyle n_i\sin\theta_i=n_t\sin\theta_t$ Snells lov. Vinkler måles fra normalen; indeks i = innfallsmedium, t = transmittert medium.
$\displaystyle \dfrac{1}{s_o}+\dfrac{1}{s_i}=\dfrac{1}{f}$ Tynnlinse-/avbildningslikningen. $s_o$ = objektavstand, $s_i$ = bildeavstand, $f$ = brennvidde.
$\displaystyle m=-\dfrac{s_i}{s_o}$ Lateral forstørrelse; negativ $m$ betyr invertert bilde. Skrives også $M_T$ .
$\displaystyle x_o\,x_i=f^2$ Newtons form av linselikningen. $x_o=s_o-f$ , $x_i=s_i-f$ : avstander målt fra brennpunktene.
$\displaystyle \dfrac{n_1}{s_o}+\dfrac{n_2}{s_i}=\dfrac{n_2-n_1}{R},\quad m=-\dfrac{n_1 s_i}{n_2 s_o}$ Brytning i én sfærisk flate, med forstørrelse. Planflate ( $R\to\infty$ ): $s_i=-\dfrac{n_2}{n_1}s_o$ (tilsynelatende dybde).
$\displaystyle P=\dfrac{1}{f}$ Brytningsstyrke i dioptrier ( $f$ i meter).
$\displaystyle \dfrac{1}{f}=\dfrac{n_2-n_1}{n_1}\!\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)$ Linsemakerformelen (linse $n_2$ i medium $n_1$ ). $R_1,R_2$ = krumningsradier for fram- og bakflate (med fortegn).
$\displaystyle f=\mp\dfrac{R}{2}$ Sfærisk speil. Fortegnet på $R$ er konvensjonsavhengig; ankeret er at konkavt speil har $f>0$ .

03 Stråle-transfer-matriser

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & d \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ Translasjon avstand $d$ (i samme medium).
$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1/f & 1\end{pmatrix}$ Tynn linse med brennvidde $f$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & n_1/n_2\end{pmatrix}$ Brytning i plan flate.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{n_2 R} & n_1/n_2\end{pmatrix}$ Brytning i sfærisk flate radius $R$ .
$\displaystyle f=-\dfrac{1}{C},\quad H_1:\ \dfrac{D-1}{C},\quad H_2:\ \dfrac{1-A}{C}$ Effektiv brennvidde og hovedplan i luft, målt fra inn- og utplanet. $F_1=H_1-f$ , $F_2=H_2+f$ ; nodalpunktene faller sammen med hovedpunktene i luft.
$\displaystyle M_\text{speil}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -2/R & 1\end{pmatrix}$ Sfærisk speil, utbrettet; her med konvensjonen $R>0$ for konkavt speil, så $f=R/2>0$ .

04 Optiske instrumenter

$\displaystyle MP_\text{lupe}=\dfrac{25\text{ cm}}{f}$ Enkel lupe (bilde i uendelig). $MP$ = vinkelforstørrelse (ikke lateral $m$ ); 25 cm = øyets nærpunkt.
$\displaystyle MP_\text{mik}=-\dfrac{L}{f_o}\cdot\dfrac{25}{f_e}$ Sammensatt mikroskop, tubuslengde $L$ . $f_o$ = objektiv-, $f_e$ = okularbrennvidde.
$\displaystyle MP_\text{tel}=-\dfrac{f_o}{f_e}$ Teleskop (refraktor): vinkelforstørrelse = objektiv- delt på okularbrennvidde.
$\displaystyle f\#=\dfrac{f}{D}$ f-tall: brennvidde delt på blenderåpningens diameter.

05 Maxwell & EM-bølger

$\displaystyle \nabla^2\vec E=\dfrac{n^2}{c^2}\dfrac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}$ Bølgelikningen for EM-felt.
$\displaystyle \vec E=\vec E_0\cos(\vec k\cdot\vec r-\omega t)$ Plan-bølge, med $\omega=kv,\ k=2\pi/\lambda$ .
$\displaystyle B_0=E_0/v$ Forhold mellom amplitudene.
$\displaystyle \vec S=c^2\varepsilon_0(\vec E\times\vec B)$ Poynting-vektor (energifluks).
$\displaystyle I=\langle S\rangle=\tfrac12 c\,n\,\varepsilon_0 E_0^2$ Intensitet (tidsmidlet).
$\displaystyle E_x=E_{0x}\cos(kz-\omega t),\quad E_y=E_{0y}\cos(kz-\omega t+\varepsilon)$ Polarisasjonstilstand: $\varepsilon=0,\pi$ gir lineær, $\varepsilon=\pm\pi/2$ med like amplituder gir sirkulær, ellers elliptisk.

06 Fresnel, Brewster & polarisasjon

$\displaystyle r_{TE}=\dfrac{\cos\theta-\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}{\cos\theta+\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}$ TE-refleksjonskoeff. (s-pol: $\vec E$ vinkelrett på innfallsplanet). $n=n_2/n_1$ .
$\displaystyle r_{TM}=\dfrac{-n^2\cos\theta+\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}{n^2\cos\theta+\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}$ TM-refleksjonskoeff. (p-pol: $\vec E$ i innfallsplanet).
$\displaystyle R=r^2,\quad T=n\dfrac{\cos\theta_t}{\cos\theta}\,t^2$ Energi-reflektans og -transmittans, $R+T=1$ .
$\displaystyle \theta_p=\arctan\!\dfrac{n_2}{n_1}$ Brewster-vinkel (reflektert lys lineært polarisert).
$\displaystyle \tilde n^2(\omega)=1+\dfrac{e^2N}{\varepsilon_0 m_e}\cdot\dfrac{1}{\omega_0^2-\omega^2-i\omega\gamma}$ Lorentz-modellen for dispersjon. $\tilde n=n_R+in_I$ : $n_R$ styrer fasefarten, $n_I$ gir dempning $e^{-2\pi n_I z/\lambda}$ .

07 Total intern refleksjon & evanescente bølger

$\displaystyle \sin\theta_c=\dfrac{n_2}{n_1}$ Kritisk vinkel (tett→tynt, $n_1>n_2$ ).
$\displaystyle |r|=1\text{ for }\theta>\theta_c$ Total intern refleksjon, kompleks $r$ (faseforskyvning).
$\displaystyle I(z)=I(0)e^{-z/z_d},\quad z_d=\dfrac{\lambda}{2\pi\sqrt{(n_1/n_2)^2\sin^2\theta-1}}$ Evanescent bølge: intensitet og inntrengningsdybde inn i det tynne mediet.
$\displaystyle \dfrac{2\pi b}{\lambda}\sqrt{n_1^2-N^2}=2\arctan\!\sqrt{\dfrac{N^2-n_2^2}{n_1^2-N^2}}+m\pi$ TE-moder i plan filmleder (kjerne $n_1$ , tykkelse $b$ , kappe $n_2$ ): diskrete moder $m=0,1,\dots$ med effektiv indeks $n_2<N<n_1$ .

08 Superposisjon & Youngs dobbeltspalt

$\displaystyle E_0^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}\cos(\alpha_2-\alpha_1)$ Resulterende amplitude (fasoraddisjon).
$\displaystyle I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta$ Tostråle-interferens; $\delta=\tfrac{2\pi n}{\lambda}(s_2-s_1)$ . Like intensiteter gir $4I_0\cos^2(\delta/2)$ .
$\displaystyle I_\text{tot}=4I_0\cos^2\!\big(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\big)$ Youngs intensitetsmønster. $a$ = spalteavstand (senter til senter).
$\displaystyle \Delta y=\dfrac{\lambda L}{a}$ Stripeavstand på skjermen. $L$ = skjermavstand, $a$ = spalteavstand.
$\displaystyle N=\dfrac{(n-1)t}{\lambda}$ Stripeforskyvning fra glassplate over én spalt. $t$ = platetykkelse, $N$ = antall striper mønsteret forskyves.
$\displaystyle v_g=\dfrac{d\omega}{dk}=v_p\left(1+\dfrac{\lambda}{n}\dfrac{dn}{d\lambda}\right)$ Gruppehastighet mot fasehastighet $v_p=\omega/k$ ; normal dispersjon ( $dn/d\lambda<0$ ) gir $v_g<v_p$ .

09 Koherens, Michelson & tynne filmer

$\displaystyle l_c=\dfrac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}=\dfrac{c}{\Delta f}$ Temporal koherenslengde. $\Delta\lambda$ = kildens spektralbredde.
$\displaystyle l_s<\dfrac{1{,}22\lambda}{\theta}$ Spatial koherenslengde (sirkulær apertur). $\theta$ = kildens vinkelutstrekning.
$\displaystyle I=4I_0\cos^2(\delta/2),\ \Delta p=2d\cos\theta$ Michelson-interferometer. $\delta$ = faseforskjell mellom armene, $\Delta p$ = veiforskjell, $d$ = speilforskyvning.
$\displaystyle V=\dfrac{I_\text{max}-I_\text{min}}{I_\text{max}+I_\text{min}}$ Synlighet (visibility).
$\displaystyle \Delta=2n_f t\cos\theta_t$ Tynnfilm: optisk veiforskjell. $n_f$ = filmens brytningsindeks, $t$ = filmtykkelse, $\theta_t$ = brytningsvinkel i filmen.
$\displaystyle t=\dfrac{\lambda}{4n_f},\quad n_f=\sqrt{n_0 n_s}$ Antirefleksbelegg: kvartbølgelag, med ideell beleggindeks mellom omgivelse ( $n_0$ ) og substrat ( $n_s$ ).

10 Optiske fibre & kommunikasjon

$\displaystyle \sin\phi_c=\dfrac{n_2}{n_1}$ Kritisk vinkel ved kjerne–kappe-grensen, målt fra normalen; $NA=n_1\cos\phi_c$ .
$\displaystyle NA=n_0\sin\theta_\text{max}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$ Numerisk apertur / akseptansevinkel.
$\displaystyle L_s=\dfrac{d}{\tan\theta'}=d\sqrt{\left(\dfrac{n_1}{n_0\sin\theta}\right)^2-1}$ Skip-avstand mellom refleksjoner ( $d$ = kjernediameter).
$\displaystyle m_{x,\text{max}}\cong\dfrac{2d}{\lambda}\,NA$ Høyeste modetall (slab-tilnærming).
$\displaystyle N_\text{moder}\approx 4\left(\dfrac{d\,NA}{\lambda}\right)^2$ Totalt antall moder, sylindrisk fiber.
$\displaystyle d<\dfrac{2{,}4\,\lambda}{\pi\,NA}$ Singelmodus-betingelse (kjernediameter).
$\displaystyle I_L=I_0e^{-\alpha L},\quad \alpha=\dfrac{1}{L}\ln\dfrac{I_0}{I_L}$ Beers lov (dempningskoeffisient).
$\displaystyle \alpha_\text{dB}=10\log_{10}\dfrac{P_\text{inn}}{P_\text{ut}}=\dfrac{10}{\ln 10}\,\alpha$ Dempning i dB/km (over 1 km).
$\displaystyle \left(\dfrac{\delta\tau}{L}\right)_\text{step}=\dfrac{n_1}{c}\dfrac{n_1-n_2}{n_2}$ Modal dispersjon, step-index. $\delta\tau/L$ = pulsutsmøring per lengde.
$\displaystyle \left(\dfrac{\delta\tau}{L}\right)_\text{GRIN}\approx\dfrac{n_1}{2c}\Delta_n^{2}$ Modal dispersjon, parabolisk GRIN ( $\Delta_n\approx\tfrac{n_1-n_2}{n_1}$ ).
$\displaystyle \dfrac{\delta\tau}{L}=-M\,\Delta\lambda$ Materialdispersjon ( $M$ i ps/(nm·km)).
$\displaystyle \nu_\text{max}L=\dfrac{0{,}5}{(\delta\tau/L)}$ Båndbredde–avstand-produkt.
$\displaystyle \lambda_B=2n_1\Lambda$ Fiber-Bragg-gitter: reflektert bølgelengde. $\Lambda$ = gitterets periode.
$\displaystyle \Delta L=\dfrac{m\lambda_1}{n}=\dfrac{(m+\tfrac12)\lambda_2}{n}$ Mach–Zehnder to-kanals demux (begge må gjelde).
$\displaystyle \mathcal R\approx\dfrac{500}{d\,[\mu\text{m}]}$ Spatial oppløsning til en fiberbunt av kjerner med diameter $d$ (linjepar per mm).

11 Fraunhofer-diffraksjon & oppløsning

$\displaystyle I=I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2,\ \beta=\dfrac{\pi b\sin\theta}{\lambda}$ Enkeltspalt-intensitet. $b$ = spaltbredde (ikke spalteavstand $a$ ); sentraltoppens bredde er $W=2\lambda L/b$ .
$\displaystyle b\sin\theta_m=m\lambda$ Minima for enkeltspalt (utledbar fra $\sin\beta=0$ ).
$\displaystyle I=I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\cos^2\alpha,\quad \alpha=\dfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$ Dobbeltspalt med diffraksjonskonvolutt. Orden $m$ mangler når $m\,b/a$ er et helt tall; $2(a/b)-1$ lyse striper under sentralkonvolutten.
$\displaystyle I=I_0\left(\dfrac{2J_1(\gamma)}{\gamma}\right)^2,\quad \gamma=\dfrac{\pi D\sin\theta}{\lambda}$ Airy-mønsteret fra sirkulær apertur; første nullpunkt ved $\gamma=3{,}832$ gir $\Delta\theta=1{,}22\lambda/D$ .
$\displaystyle \Delta\theta_{1/2}=\dfrac{1{,}22\lambda}{D}\approx\dfrac{\Delta x}{L}$ Airy-skive / Rayleigh-kriteriet. $D$ = aperturdiameter, $\Delta x$ = spotradius, $L$ = avstand.
$\displaystyle L\gg\dfrac{b^2}{\lambda}$ Fraunhofer (fjernfelt) gyldig.

12 Fourier-optikk & gitteret

$\displaystyle t_a(x,y)=e^{-ik(x^2+y^2)/2f}$ Tynn linse som faseelement: med skjermen i brennplanet er feltet der Fourier-transformen av aperturfeltet.
$\displaystyle I=I_0\big(\tfrac{\sin\beta}{\beta}\big)^2\big(\tfrac{\sin N\alpha}{\sin\alpha}\big)^2$ $N$ spalter, bredde $b$ , avstand $a$ : hovedmaksima vokser som $N^2$ og smalner som $1/N$ , med $N-1$ minima imellom.
$\displaystyle m\lambda=a(\sin\theta_i+\sin\theta_m)$ Gitterlikningen. $a$ = spalteavstand (gitterkonstant), $\theta_i$ = innfalls-, $\theta_m$ = utfallsvinkel for orden $m$ .
$\displaystyle \mathcal R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN$ Spektral oppløsning $\mathcal R$ = evnen til å skille to nære bølgelengder; $N$ = antall belyste spalter.
$\displaystyle \mathcal D=\dfrac{d\theta_m}{d\lambda}=\dfrac{m}{a\cos\theta_m}$ Vinkeldispersjon $\mathcal D$ = hvor mye utfallsvinkelen endrer seg per bølgelengde.
$\displaystyle \lambda_\text{fsr}=\dfrac{\lambda_1}{m}$ Fritt spektralområde: bølgelengdeintervallet før naboordener (orden $m$ ) overlapper.