I et dobbeltspaltmønster med a=3b mangler …

hver tredje orden (m=3,6,\dots)

Fraunhofer-diffraksjon & oppløsning

Interferens handlet om noen få kilder; diffraksjon er det samme regnestykket med uendelig mange. Hvert punkt i aperturen er en Huygens-kilde, integralet over dem gir mønsteret, og i fjernfeltet får svaret en enkel form. Den samme regningen setter også grensen for hva et instrument kan skille, fra øyet til romteleskop.

Enkeltspalten

Del en spalt med bredde $b$ i uendelig mange smale strimler og summer bidragene i retning $\theta$ . Integralet over faseforskjellene gir amplituden $\sin\beta/\beta$ , og dermed

\displaystyle I=I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2,\quad \beta=\dfrac{\pi b\sin\theta}{\lambda}

Enkeltspaltmønsteret. Merk konvensjonen:

b

er spaltbredden,

a

er spalteavstanden.

Minima ligger der $\sin\beta=0$ uten at $\beta=0$ , altså ved $b\sin\theta=m\lambda$ for $m=\pm1,\pm2,\dots$ Sentraltoppen er dobbelt så bred som sidetoppene, med full bredde $W=2\lambda L/b$ på en skjerm i avstand $L$ . Trangere spalt eller lengre bølgelengde gir bredere mønster.

Fjernfeltformelen gjelder når skjermen står langt nok unna: $L\gg b^2/\lambda$ . Kvotienten $L/(b^2/\lambda)$ er en rask kontroll på om du er trygt i Fraunhofer-regimet.

Regneeksempel spaltbredde fra mønsteret

En laser med 632,8 nm belyser en spalt, og på en skjerm 2,0 m unna er avstanden mellom tredje minimum på hver side 5,625 cm. Finn spaltbredden, og kontroller fjernfeltet.

Vis løsning Skjul løsning

Tredje minimum ligger $x=2{,}81$ cm fra sentrum, så $\sin\theta\approx x/L=0{,}0141$ . Med $m=3$ er

$b=\dfrac{m\lambda}{\sin\theta}=\dfrac{3\cdot632{,}8\times10^{-9}}{0{,}0141}\approx0{,}13\ \text{mm}.$

Fjernfeltskravet: $b^2/\lambda=(1{,}35\times10^{-4})^2/(632{,}8\times10^{-9})\approx2{,}9$ cm, og $L=2$ m er 70 ganger større. Trygt i fjernfeltet.

Svar

b\approx0{,}13

mm; fjernfeltet bekreftet

Dobbeltspalt på nytt, og N spalter

Youngs regning antok uendelig smale spalter. Med reell bredde $b$ og avstand $a$ ganges interferensleddet med diffraksjonskonvolutten:

\displaystyle I=I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\cos^2\alpha,\quad \alpha=\dfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}

Dobbeltspalt med konvolutt: interferensstriper under enkeltspaltens omhylling.

Konvolutten kan slukke en interferenstopp. Orden $m$ mangler når toppen faller på et konvoluttnull, altså når $m\,b/a$ er et helt tall, og under sentralkonvolutten er det plass til $2(a/b)-1$ lyse striper. Måler du hvilken orden som mangler, har du målt forholdet $a/b$ .

Med $N$ spalter skjerpes toppene:

\displaystyle I=I_0'\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\left(\dfrac{\sin N\alpha}{\sin\alpha}\right)^2

N

spalter: hovedmaksima ved

\alpha=m\pi

, med

N-2

småtopper imellom.

Hovedmaksima ligger fortsatt ved $a\sin\theta=m\lambda$ , men høyden vokser som $N^2$ og bredden krymper som $1/N$ . Formelen er broen til diffraksjonsgitteret, som er tema for spektroskopidelen.

Sett antall spalter $N$ , spaltbredde $b$ og avstand $a$ i figuren, og se den brede konvolutten modulere de skarpe toppene.

Interaktivt: enkelt- og flerspalt-diffraksjon

To dimensjoner: rektangel og Airy

For en rektangulær apertur separerer integralet i to retninger, og mønsteret er produktet av to sinc-kvadrater, ett per kant. For en sirkulær apertur gir sylindersymmetrien Bessel-funksjoner i stedet:

\displaystyle I=I_0\left(\dfrac{2J_1(\gamma)}{\gamma}\right)^2,\quad \gamma=\dfrac{\pi D\sin\theta}{\lambda}

Airy-mønsteret fra en sirkulær apertur med diameter

D

;

J_1

er førsteordens Bessel-funksjon.

Første nullpunkt ligger ved $\gamma=3{,}832$ , og oversatt til vinkel er det den berømte Airy-radien $\Delta\theta=1{,}22\,\lambda/D$ : en lys skive omgitt av svake ringer. Selve Bessel-regningen er for forståelsen; det er sluttresultatet du bruker.

Kriteriet gjelder alt med en sirkulær apertur. Øyets pupill setter grensen for hva du kan skjelne, et teleskops hovedspeil for hva det kan skille på himmelen, og den samme formelen gir divergensen til en laserstråle med diameter $D$ .

Regneeksempel billyktene

To billykter sitter 1,1 m fra hverandre. Øyets pupill er 5,0 mm og $\lambda=550$ nm. På hvilken avstand kan øyet så vidt skille dem, etter Rayleigh?

Vis løsning Skjul løsning

Grensen er vinkelen $\Delta\theta=\dfrac{1{,}22\lambda}{D}=\dfrac{1{,}22\cdot550\times10^{-9}}{5{,}0\times10^{-3}}=1{,}34\times10^{-4}$ rad.

Lyktene skilles så lenge $s/L>\Delta\theta$ , altså ut til

$L=\dfrac{s}{\Delta\theta}=\dfrac{1{,}1}{1{,}34\times10^{-4}}\approx8\ \text{km}.$

I praksis begrenser atmosfæren og netthinnen før diffraksjonen gjør det.

Svar

L\approx8