Fraunhofer-diffraksjon & oppløsning

Kjernen i temaet

Når lys passerer en åpning på størrelse med bølgelengden, sprer det seg — diffraksjon. I fjernfeltet (Fraunhofer) er mønsteret Fourier-transformen av åpningen.

Enkeltspalt

$I=I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2$ , $\beta=\tfrac12 kb\sin\theta=\dfrac{\pi b\sin\theta}{\lambda}$ . Minima ved $b\sin\theta=m\lambda$ ( $m=1,2,\dots$ ). Sentraltoppen er dobbelt så bred som de øvrige.

Fjernfelt-betingelse

Gyldig når $L\gg \dfrac{(\text{aperturareal})}{\lambda}$ , dvs. $L\gg b^2/\lambda$ for en spalt med bredde $b$ . Forholdet $L/L_\text{min}$ forteller hvor «trygt» i fjernfeltet du er.

Sirkulær apertur — Airy

Vinkelradius til første mørke ring: $\Delta\theta_{1/2}=\dfrac{1{,}22\lambda}{D}$ . Dette gir Rayleigh-kriteriet for oppløsning og bestemmer en stråles diffraksjonsspredning.

\displaystyle I=I_0\left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2,\ \beta=\dfrac{\pi b\sin\theta}{\lambda}

Enkeltspalt-intensitet.

b

= spaltbredde (ikke spalteavstand

a

\displaystyle b\sin\theta_m=m\lambda

Minima for enkeltspalt (utledbar fra

\sin\beta=0

). må pugges

\displaystyle \Delta\theta_{1/2}=\dfrac{1{,}22\lambda}{D}\approx\dfrac{\Delta x}{L}

Airy-skive / Rayleigh-kriteriet.

D

= aperturdiameter,

\Delta x

= spotradius,

L

= avstand.

\displaystyle L\gg\dfrac{b^2}{\lambda}

Fraunhofer (fjernfelt) gyldig.

Regneeksempel spaltbredde

Laser 632,8 nm, skjerm $L=2$ m. Avstand mellom 3. minima på hver side er 5,625 cm. Finn $b$ , og sjekk fjernfeltet.

Vis løsning

Vinkel.

Halve avstanden til 3. minimum: $x=2{,}8125$ cm ⇒ $\sin\theta\approx \theta = x/L=0{,}02813/2=0{,}01406$ . Med $m=3$ :

Spaltbredde.

$b=\dfrac{m\lambda}{\sin\theta}=\dfrac{3(632{,}8\times10^{-9})}{0{,}01406}\approx 1{,}35\times10^{-4}$ m $=0{,}13$ mm.

Fjernfelt.

$L_\text{min}\sim b^2/\lambda=(1{,}35\times10^{-4})^2/632{,}8\times10^{-9}\approx 0{,}029$ m. $L/L_\text{min}\approx 2/0{,}029\approx 70$ – $140$ (avhengig av definisjon) ⇒ trygt i fjernfeltet.

Svar

b \approx 0{,}13

mm; fjernfelt bekreftet

Sett antall spalter $N$ , spaltbredde $b$ og avstand $a$ . Se hvordan den brede enkeltspalt-konvolutten moduleres av de skarpe flerspalt-toppene.

Interaktivt: enkelt- og flerspalt-diffraksjon

Interaktiv simulering krever JavaScript.

Sjekk deg selv

Mer forklaring — minima er ofte enklere enn maksima

I enkeltspaltoppgaver er mørke striper enklest å bruke fordi de har nøyaktige betingelser: $b\sin\theta=m\lambda$ . Maksima utenom sentraltoppen ligger ikke nøyaktig midt mellom minima.

For sirkulære åpninger er Rayleigh-kriteriet ( $\Delta\theta_{1/2}=\dfrac{1{,}22\lambda}{D}\approx\dfrac{\Delta x}{L}$ ) den viktigste huskeregelen: mindre åpning eller større bølgelengde gir større Airy-skive og dårligere oppløsning.

Regneeksempel apertur fra Airy-spot

En laser med $\lambda=633\text{ nm}$ sendes gjennom en sirkulær apertur og lager første mørke ring med radius $1{,}5\text{ mm}$ på en vegg $5{,}0\text{ m}$ unna. Finn aperturdiameteren.

Vis løsning

Rayleigh.

$\theta\approx x/L=1{,}5\times10^{-3}/5{,}0=3{,}0\times10^{-4}$ rad.

Diameter.

$D=1{,}22\lambda/\theta=1{,}22(633\times10^{-9})/(3{,}0\times10^{-4})=2{,}57\times10^{-3}\text{ m}$ .